Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 245ces deux points se déterminent grâce au système simultané 10 :⎧dx ′dt = y′ + y 0(x ′2 − y ′2 )− 2x 0x ′ y ′x⎪⎨2 0 + y02 x 2 0 + y02dy(26)′dt = −x′ + 2y 0x ′ y ′+ x 0(x ′2 − y ′2 )x 2 0 + y02 x 2 0 + y02dz ⎪⎩′dt = 2(y 0x ′ − x 0 y ′ ),x 2 0 + y02avec les conditions initiales bien connues : [x ′ ] t=0 = x, etc. À partirde (26), on trouve 11 :ddt (x′ + iy ′ ) = −i{x ′ + iy ′ − (x′ + iy ′ ) 2 },x 0 + iy 0et de là, par intégration :(27) x ′ + iy ′ =(x 0 + iy 0 )(x + iy){x 0 − x + i(y 0 − y)} e it + x + iy .D’un autre côté, puisque l’on sait que le point x, y, z se meut sur la pseudosphèrepassant par lui et qui a pour centre l’origine des coordonnées,10 On détermine à l’avance une certaine combinaison linéaire W = α T + β U +γ V des trois dernières transformations infinitésimales (24) (qui s’annulent déjà à l’origine):W = [ αy +β(x 2 −y 2 )+2γxy ] p+ [ −αx+2βxy +γ(y 2 −x 2 ) ] q + [ 2βx+2γy ] rafin qu’elle s’annule aussi en (x 0 , y 0 , z 0 ). Égaler à zéro les trois coefficients de p, q, rdans W ∣ (x0,y 0,z 0)donne alors l’unique (à un facteur multiplicatif près) solution :α = y 0 , β = y0, γ = − x0.x 2 0 +y2 0x 2 0 +y2 0Le système considéré de trois équations différentielles ordinaires représente alors lescourbes intégrales de W , d’inconnues ( x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t) ) valant (x, y, z) pour t = 0.11 Il s’agit d’intégrer l’équations différentielle dwdt = −i{ w − w 2 /α } d’inconnueα dwαw−w= 2complexe w = w(t) ∈ C, où α := x 0 + iy 0 est une constante, c’est-à-dire−idt, ou encore, après décomposition en éléments simples et séparation des quotientsdifférentiels :dw ( 1w − w−α) 1 = −idt.Une intégration donne log wc αw−α= −it+const., puis par exponentiation w = −e it −c ,où c est une constante que l’on détermine par la condition initiale w ∣ t=0= x + iy,−x−iyc’est-à-dire c =x 0−x+i(y 0−y). Enfin, on remplace c dans l’expression de w. Trèsexceptionnellement, le texte allemand comporte ici une coquille : au dénominateur,entre accolades, il est écrit x − x 0 + i(y − y 0 ).