Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

266 Division V. Chapitre 22. § 98.Proposition 1. Si un groupe projectif réel continu du plan possèdela libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel de position générale,alors il est à trois paramètres et il est semblable, via une transformationprojective 7 réelle du plan, à l’un des groupes projectifs indiquésdans le Théorème 38.Parmi les groupes projectifs rassemblés dans le Théorème 38, ily en a deux qui ne possèdent pas la libre mobilité dans l’infinitésimalen certains points réels, à savoir premièrement le groupe de la conique :x 2 +y 2 −1 = 0, et deuxièmement le groupe : p, q, yp−xq+c (xp+yq).Pour le premier, la libre mobilité dans l’infinitésimal n’a pas lieu en tousles points réels de la conique et aussi en tous les points de la coniquequi ne sont par réels 8 , et pour le deuxième, en tous les points réels de ladroite à l’infini. Au contraire, il n’y a aucun point exceptionnel tel 9Théorème 39. Si un groupe projectif réel continu du plan possèdesans exception la libre mobilité dans l’infinitésimal en tous les pointsréels, alors il est transitif à trois paramètres et il peut être transformé,via une transformation réelle projective, en le groupe projectif réel àtrois paramètres de la conique : x 2 + y 2 + 1 = 0.§ 98.Les recherches des précédents paragraphes doivent maintenant êtreaccomplies pour l’espace ordinaire trois fois étendu. Nous définissonsdonc tout d’abord ce que nous entendons ici par « libre mobilité dansl’infinitésimal ».Définition. Un groupe réel continu de l’espace trois fois étendupossède la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel P lorsqueles conditions suivantes sont remplies : Si l’on fixe le point P et unélément linéaire quelconque passant par ce point, alors un mouvementcontinu doit toujours être possible ; si au contraire on fixe encore, outreP et cet élément linéaire-là, un élément de surface quelconque, quipasse par les deux, alors aucun mouvement continu ne doit être encorepossible.7 Comparé au Théorème 38, tout est projectif, maintenant.8 En effet, puisque la conique (le cercle) est stabilisé, les directions tangentes sontelles aussi fixées, dans le domaine réel aussi bien que dans le domaine complexe.9 En effet, ce n’est qu’en les points, tous purement complexes, de la coniquequ’on n’a pas libre mobilité dans l’infinitésimal.