Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 227lui est équivalente, peut être rapportée à la forme 5 :(7) Ω ( x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)= Ω(x01 . . .x 0 n, y 0 1 . . .y 0 n).Les équations (1) représentent un mouvement quelconque parmiles mouvements continus qui sont admissibles, et ce, de la manière laplus générale possible ; les mêmes considérations que celles émises auparavantmontrent alors que la fonction Ω ( x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)des coordonnéesde la paire de points x 1 . . .x n , y 1 . . .y n conserve sa valeurnumérique à travers tous les mouvements dont est susceptible cette pairede points ; et que donc, en prenant pour base le deuxième axiome helmholtzien,chaque paire de points appartenant à l’espace mobile mentionnéprécédemment possède un invariant relativement à tous les mouvements.En d’autres termes :Soit :x ν = F ν(x1 . . .x n , t )(ν = 1···n)la famille de ∞ 1 transformations qui est déterminée par un mouvementcontinu quelconque de l’espace n fois étendu, alors deux points :x 1 . . .x n , y 1 . . .y n possèdent toujours un invariant :Ω ( x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)relativement à la famille (1) ; et pour préciser, les deux points ont cetinvariant relativement à toute famille de ∞ 1 transformations, qui estspécifiée comme étant l’un des mouvements continus admissibles del’espace le plus général possible.Toutefois, on doit souligner que l’existence d’un tel invariant estseulement une conséquence du deuxième axiome helmholtzien, et qu’enrevanche, l’exigence qu’il doit exister un tel invariant ne peut pas êtresubstituée complètement à cet axiome.En effet, le deuxième axiome demande, comme nous l’avons vuplus haut, qu’entre les coordonnées de deux points distincts l’un del’autre dans notre espace mobile, il existe une équation indépendante dumouvement, et pour préciser, une véritable équation 6 , donc une équationqui n’est pas sans signification pour une paire de points individuelle. Simaintenant deux points : x 1 . . .x n et y 1 . . . y n de l’espace mobile ont5 Cette dernière équation déduite, aussi bien que l’équation abstraite (7) postuléep. 169, réfère sémantiquement à la conservation dist(x, y) = dist(x 0 , y 0 ) d’une« distance » en un certain sens généralisé ; les résultats de la recherche le préciseront.6 En toute rigueur, Helmholtz a effectivement oublié de requérir que l’équationinvariante soit non triviale, sain réflexe logique dont nul géomètre ne doit manquer.