Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

108 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètreEn fait, on peut redresser localement 23 le champ X ′ en le champ∂très simple dans un certain nouveau système de coordonnées∂y 1′(y 1 ′, y′ 2 , . . .,y′ n ), et alors le fait que les paramètres temporels s’additionnentdevient évident.Théorème. Tout groupe continu à un paramètre :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; t)(i = 1 ···n)est localement équivalent, à travers un changement approprié de variablesx ↦→ y = y(x), à un groupe de translations :y ′ 1 = y 1 + t, y ′ 2 = y 2 , . . ...., y ′ n = y n .1byx = f(0, by; y 1)bxy =: Φ(y)y0 y 10y = Φ −1 (x)Φ(y)Fig. : Redressement d’un flot au moyen d’un difféomorphismePreuve. On peut supposer depuis le début que les coordonnéesx 1 , . . .,x n ont été choisies et adaptées de telle sorte que ξ 1 (0) = 1et que ξ 2 (0) = · · · = ξ n (0) = 0. Dans un espace auxiliaire y 1 , . . .,y nreprésenté sur la gauche de la figure, considérons tous les points ŷ :=(0, y 2 , . . .,y n ) proches de l’origine qui se trouvent sur l’hyperplan decoordonnées complémentaire de l’axe des y 1 , et introduisons le difféomorphisme:y ↦−→ x = x(y) := f ( 0, ŷ; y 1)=: Φ(y),défini en suivant le flot f(y; t) jusqu’à un temps t = y 1 en partant detous ces points possibles ŷ dans l’hyperplan en question. Cette applicationest effectivement un difféomorphisme local fixant l’origine, grâceà ∂Φ 1∂y 1(0) = ∂f 1(0) = ξ ∂t 1(0) = 1, grâce à ∂Φ k∂y 1(0) = ∂f k(0) = ξ ∂t k(0) = 0et grâce à Φ k (0, ŷ) ≡ ŷ k for k = 2, . . .,n. Nous affirmons maintenantque le flot (courbé) qui est représenté dans la partie droite de la figure aainsi été redressé à gauche pour devenir juste une translation uniformedirigée par l’axe des y 1 . En effet 24 , si l’on suppose à l’avance que lex 123 Rappelons que le principe de relocalisation sous-entend que l’on se replace enun point générique où le champ X ne s’annule pas (sinon il est identiquement nul, casinintéressant).24 À travers le difféomorphisme local y ↦→ x = Φ(y), le flot x ′ = f(x; t) se transformenaturellement par substitution en le flot bien déterminé Φ(y ′ ) = f ( Φ(y); t ) ,ou bien, de manière équivalente en le flot : y ′ = Φ −1( f ( Φ(y); t )) .