Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 219deux suivants (cf.pp. 370 sq. et p. 209) :⎧⎪⎨ p, q, yp − xq + c(xp + yq)(62)⎪⎩p − x 2 p − xyq, q − xyp − y 2 q, yp − xq .Le premier d’entre eux fournit l’invariant suivant * :{(63) (x2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2} e 2c arctan y 2 −y 1x 2 −x 1 ;le second provient du deuxième des groupes (60), lorsqu’on introduitix, iy comme nouvelles variables à la place de x, y et par là, l’invariantqui lui appartient peut être immédiatement indiqué ** .* Monsieur de Helmholtz s’est en tout cas préoccupé, déjà en 1868, d’une recherchedont le but peut s’énoncer, avec notre manière actuelle de nous exprimer,comme suit : déterminer les groupes du plan relativement auxquels deux points ont unet un seul invariant, tandis qu’un nombre de points supérieur à deux n’a pas d’invariantessentiel. À cette époque, il avait déjà remarqué que dans le plan, on peut imaginer unefamille de mouvements relativement auxquels deux points possèdent l’invariant (63).**Déjà dans les années 1874–76, Lie a déterminé tous les groupes à trois paramètresdu plan, sans toutefois ajouter l’écriture de tous les calculs jusque dans lesdétails (Gött. Nachr. v. 1874 ; norwegisches Archiv 1878). En l’année 1884, il a donnéensuite une énumération détaillée des différentes formes normales auxquelles tous lesgroupes de ce genre peuvent être rapportées. Plus tard (en 1887) Monsieur Poincarés’est préoccupé des fondements de la géométrie du plan, et dans son travail relatif àce sujet (Bull. de la Soc. Math., vol. 15), il a aussi pris en considération les recherchesrelativement anciennes de Lie sur la théorie des groupes, tandis qu’il ne connaissaitni le travail de Lie de 1884, ni la première communication de Lie sur les fondementsde la géométrie (1886), pas plus que l’étude helmholtzienne de l’année 1868. Lesconclusions intéressantes auxquelles Monsieur Poincaré est parvenu résultent en véritéimmédiatement des recherches anciennes de Lie.