Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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242 Division V. Chapitre 21. § 94.Comme nous l’avons vu, une partie des exigences helmholtziennesse ramène à ce que deux points ont un et un seul invariant relativementà tous les mouvements du groupe. Maintenant, relativement au groupetransitif à six paramètres :(21) q, xq + r, x 2 q + 2xr, x 3 q + 3x 2 r, x 4 q + 4x 3 r, ples deux points : x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 ont le seul 3 invariant 4 : x 2 − x 1 ,tandis que relativement au groupe réduit associé :(21’) q, r, xr, p,ils ont au contraire les deux invariants 5 : x 2 − x 1 et y 2 − y 1 . D’un autrecôté, relativement au groupe transitif à six paramètres :(22) q, xq + r, x 2 q + 2xr, x 3 q + 3x 2 r, p, xp − zr,ces deux points n’ont absolument aucun invariant, tandis que, relativementau groupe réduit associé :(22’) q, r, xr, p, xp − zrils ont l’invariant : y 2 − y 1 .De là, il résulte que les deux groupes (17), (18) et (20) ne satisfontpas en général simultanément les exigences qui ont été admises.Considérons ensuite le groupe :(23){q, p, xq + r, x 2 q + 2xr, xp + yq + crx 2 p + 2xyq + 2(cx + y) r,que nous avons déjà rencontré à la page 195. D’après la page 196, deuxpoints ont un et un seul invariant relativement à ce groupe tandis que3 La Proposition 2 p. 178 s’applique à l’origine, qui est un point de positiongénérale.4 Effectivement, x 2 − x 1 est annihilé identiquement par X (1)k+ X (2)k , pour k =1, . . . , 6, ce qui est trivial pour les cinq premiers opérateurs différentiels, le sixièmes’écrivant p 1 + p 2 , d’où (p 1 + p 2 )(x 2 − x 1 ) = 1 − 1 = 0.5D’après l’équation (2) p. 167, une fonction quelconque J =J(x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ) est invariante si et seulement si elle est annihilée identiquementpar Y (1)l+Y (2)l, pour l = 1, . . .,4. L’annihilation par p 1 +p 2 , par q 1 +q 2 etpar r 1 + r 2 équivaut à ce que J = J(x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ). Enfin, l’annihilationpar x 1 r 1 + x 2 r 2 implique que J = J(x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ). La vérification (similaire)des deux affirmations qui suivent immédiatement est laissée au lecteur.
Critique des recherches helmholtziennes. 243s > 2 points n’ont pas d’invariant essentiel, donc ce groupe satisfait certainesexigences qui découlent des axiomes helmholtziens (cf.p. 236).Cependant, le groupe réduit associé 6 :(23’) q, p, r, xr, xp + yq − cxq, yrne satisfait pas ces exigences, car il contient des transformations infinitésimales,et même trois, à savoir : r, xr, yr, qui ont des courbesintégrales en commun, alors que, d’après la Proposition 1, p. 176, celane peut pas se produire lorsque deux points doivent avoir un et un seulinvariant, alors que s > 2 points ne doivent pas avoir d’invariant essentiel.Par conséquent, les exigences en question ne sont pas toujours nécessairementsatisfaites par le groupe (20) lorsqu’elles le sont par legroupe (17), (18).Enfin, l’axiome de monodromie peut très bien appartenir aussi auxexigences qui sont satisfaites par le groupe (17), (18), sans que celles-cisoient satisfaites par le groupe (20).Le groupe :⎧p, q, xp + yq + r, yp − xq⎪⎨(24)(x 2 − y 2 ) p + 2xyq + 2xr⎪⎩2xyp + (y 2 − x 2 ) q + 2yr,que nous avons déjà trouvé à la page 214 7 , en fournit la démonstration.Ce groupe extrêmement curieux [äusserst merkwürdige Gruppe]satisfait en effet toutes les exigences de l’axiome helmholtzien de monodromie,tandis que le groupe réduit associé :(24’) p, q, r, yp − xq, xr, yrne les satisfait pas.Il est facile de voir que le groupe (24’) ne satisfait pas l’axiome demonodromie. Si nous fixons en effet deux points qui sont mutuellementen position générale, par exemple l’origine des coordonnées et le pointx 0 , y 0 , z 0 , où x 0 et y 0 ne s’annulent pas, alors les mouvements encorepossibles forment un groupe à un paramètre qui est engendré par la6 Pour obtenir trois transformations infinitésimales linéairement indépendantesfixant l’origine, une combinaison linéaire préalable est requise : retrancher de la cinquièmetransformation la troisième multipliée par c, ce qui donne xp + yq − cxq.7 à savoir le groupe (58) avec a = 1 et b = 0, ce qui a donné le groupe 7 p. 215.
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