Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

14 1.8. Nécessité, suffisance, bifurcationpas donnés dans l’expérience du monde sensible, ils ne sont pas produitspar une intuition sui generis, et ils ne sont pas d’emblée présentésdans une évidence définitionnelle 26 . Au contraire, les concepts portentde manière permanente les marques de leur propre problématicité ; ilssont donc à construire, et ils sont aussi à cause de cela ouverts.Dans le § I où il introduit la notion, maintenant si fondamentale engéométrie différentielle, de multiplicité 27 [Mannigfaltigkeit] 28 , Riemannprocède comme il l’a déjà fait dans sa Dissertation inaugurale et dansson mémoire sur les séries trigonométriques : à chaque étape d’uneconceptualisation problématique, il recherche à la fois les conditionsqui sont nécessaires, et les conditions qui sont suffisantes à la genèsedu concept ou des concepts visés. Les premières lignes du § 1 en témoignent:Les concepts de grandeur [Grössenbegriffe] ne sont possibles quelà où il existe un concept général qui permette différents modes de détermination[verschiedene Bestimmungsweisen]. [133], p. 282.Condition nécessaire, donc : « n’être possible que si . . . ». Avant de penseraux concepts de grandeur en question, il faut disposer d’un conceptpréalable par lequel ces grandeurs pourraient être déterminées, et il fautse donner les moyens de comparer ces déterminations entre elles. Dansla donation, qui est nécessaire, l’Un est précédé par le Multiple, qui estlui aussi nécessaire.Seconde constatation, frappante de lucidité philosophique : commes’il respectait rigoureusement les antinomies entre le discret et lecontinu qui ont préoccupé la philosophie grecque (cf. notamment ladiscusion par Aristote des paradoxes de Zénon dans la Physique III),Riemann enracine d’emblée sa réflexion dans la bifurcation philosophiqueincontournable entre le discret et le continu.26 Lire et méditer Riemann permet de se départir d’une certaine « naïveté réaliste »quant à l’« évidence » de l’acte de pensée que représente le fait de poser, ou de rappelerla définition d’un objet mathématique, par exemple, dans un article de recherche oulors d’une conférence.27 Vuillemin [168] et Chorlay [30] suggèrent de ne pas traduire le terme« Mannigfaltigkeit » introduit par Riemann par « variété », mais par « multiplicité ».28 Pour une analyse historique du concept de « variété », qui débouchera ultérieurementavec les travaux de Weyl, Cartan, Veblen et Whitehead sur la définitioncontemporaine en termes de cartes et d’atlas maximal, nous renvoyons auxétudes [140, 141, 46, 18, 16, 17, 93, 30].