Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

38 1.17. Genèse des métriques riemanniennesPar conséquent, Riemann décide d’infinitésimaliser 71 le problème :avec cette hypothèse de continuité 72 , les lignes peuvent être décomposéesen portions infinitésimales, et si l’on s’autorise 73 de plus à disposerde la théorie de l’intégration afin de sommer toutes les longueurs infinitésimalesdes éléments de ligne placés bout à bout, il suffit alors 74 detrouver une expression pour la longueur de tout élément linéaire infinitésimal(dx 1 , dx 2 , . . .,dx n ) qui est situé en un point (x 1 , x 2 , . . .,x n ).Poursuite du raisonnement : dans l’infinitésimal et en un point(x 1 , x 2 , . . .,x n ) fixé, les rapports d’accroissement entre les composantesdx i de l’élément infinitésimal en question le long d’une lignedonnée peuvent être considérés comme constants. Mais quand le point(x 1 , x 2 , . . .,x n ) varie, ces rapports cessent d’être constants, et puisqueles lignes sont libres de représenter, en un point donné quelconque,toutes les directions possibles qui passent par ce point, il en découle queles rapports d’accroissement infinitésimal le long d’une ligne doiventen fait dépendre du point, et donc aussi : seulement du point. Par conséquent,sous ces deux hypothèses fondamentales d’infinitésimalisationpremière et d’intégration seconde, Riemann a ramené la question géométriquede la genèse des rapports métriques à une question d’Analyse,à savoir : déterminer une fonction du lieu et de l’élément infinitésimal 75 :Ω = Ω(x 1 , . . .,x n ; dx 1 , . . .,dx n )71 En fait, dans l’en-tête (énigmatique) de ce paragraphe, Riemann aurait été probablementmieux inspiré d’annoncer cette infinitésimalisation comme l’une de seshypothèses génétiques principales.72 — par laquelle il faudrait entendre plus rigoureusement une hypothèse de différentiabilitéd’ordre au moins égal à 1 —73 À cause de ce recours à l’intégration — concept d’analyse encore problématiquequi exige l’infini —, Engel et Lie objecteront p. 162 ci-dessous que les considérationsde Riemann fournissent peu d’éclaircissements quant aux fondements de lagéométrie purement élémentaire.74 Riemann recherche en effet des conditions seulement suffisantes pour la déterminationdes rapports métriques dans une multiplicité. À chaque fois qu’une hypothèsesimplificatrice ou spécificatrice est admise, le choix d’une discontinuité conceptuelleestompe une fraction de la nécessité qui doit être corrélative de la suffisance.75 Dans le § 100 p. 278 sq. ci-dessous que le lecteur est invité à lire en parallèlepour de plus amples éclaircissements (cf. aussi [168], pp. 409–412), Engel et Lie réexprimentles raisonnements de Riemann en utilisant un langage purement analytique.Par ailleurs, dans la recherche d’une expression fonctionnelle pour la métrique, ilstraitent simultanément du cas local fini, inspiré de leur théorie des invariants, et du casinfinitésimal (Riemann).