Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

226 Division V. Chapitre 21. § 92.que cette relation doit être indépendante de tous les mouvement, alorsnous réalisons que par la substitution (3), l’équation (2’) doit se transformeren une équation qui est équivalente à (2). Si tel n’était pas le cas,alors par la substitution (3), l’équation (2’) ne se transformerait pas enune équation qui est une conséquence de (2), donc l’équation (2) entreles coordonnées des paires de points mobiles ne serait manifestementpas indépendante du mouvement, mais au contraire, elle changerait aucours du mouvement.Puisque l’équation (2) ne peut pas être libre des 2n quantités x 0 ν, y 0 ν,nous sommes autorisés à nous imaginer qu’elle est résolue par rapportà l’une de ces quantités, par exemple, par rapport à y 0 n :(4) y 0 n = ϕ( x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . . y0 n−1 , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n).D’après ce qui a été dit à l’instant, on obtient à présent que l’équation :(4’) y 0 n = ϕ ( x 0 1 . . .x 0 n, y 0 1 . . .y 0 n−1, x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)se transforme en (4) par la substitution (3), et puisque nous pouvons attribueraux quantités x 0 ν, yν 0 toutes les valeurs numériques quelconques,ceci doit valoir aussi quelles que soient les valeurs que peuvent avoirx 0 ν , y0 ν , c’est-à-dire que l’équation :(5){ϕ(x01 . . .x 0 n , y0 1 . . .y0 n−1 , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)== ϕ ( x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n−1 , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)doit se transformer en une identité par la substitution (3).Tout ceci reste encore vrai aussi, lorsque l’on attribue aux quantités: x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . . y0 n−1 des valeurs numériques déterminées :α 1 . . .α n , β 1 . . .β n−1 ; si donc nous posons :ϕ ( ) ( )α 1 . . .α n , β 1 . . .β n−1 , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n = Ω x1 . . .x n , y 1 . . .y nnous obtenons à partir de (5) l’équation :(6) Ω ( x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)= Ω(x1 . . .x n , y 1 . . .y n),qui se transforme également en une identité par la substitution (3). Noustrouvons ainsi que les deux points x 1 . . .x n , y 1 . . .y n possèdent l’invariant: Ω ( x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)relativement aux ∞ 1 transformations (1).En même temps, il en découle que l’équation (2), ou l’équation (4) qui