Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

114 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètresymboles fonctionnels Φ i serait superflue ou redondante. En fait, toutchangement de coordonnées sous-entend une procédure de remplacementautomatique d’anciennes variables par de nouvelles variables, ceque la notation x = x(x) montre de manière adéquate.Ainsi, une fonction arbitraire f = f(x 1 , . . .,x n ) définie dansl’espace-source donne alors naissance, à travers le « miroir » du changementde coordonnées, à la fonction correspondante :(5) f(x 1 , . . .,x n ) := f ( x 1 (x), . . ., x n (x) )qui est définie dans l’espace-image. Cette relation s’écrit aussi de manièresymétrique :f(x) = f(x).Le transfert d’une dérivation arbitraire X = ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x ià travers cemiroir doit alors être tel que la relation purement symétrique :X(f) = X(f),soit satisfaite pour toute fonction f, c’est-à-dire que, après remplacementà droite de x par x(x) et en utilisant la différentiation de (5) parrapport à x k , le transfert doit satisfaire :X(f) =n∑i=1ξ i (x) ∂f∂x i===n∑k=1ξ k (x) ∂f∂x k∣∣∣x=x(x)n∑ ( ) ∑nξ k x(x)k=1n∑i=1( n∑k=1i=1∂f∂x i(x) ∂x i∂x k(x(x))ξ k(x(x)) ∂x i∂x k(x(x)) ) ∂f∂x i(x).Autrement dit, de manière abrégée et en supprimant le symbole defonction-test :n∑X = X(x i ) ∂ .∂x ii=1En intervertissant les rôles de X et de X, nous avons donc démontrél’énoncé suivant.Lemme. À travers un changement arbitraire de coordonnées locales :(x 1 , . . .,x n ) ↦−→ (x 1 , . . ., x n ) = ( x 1 (x), . . .,x n (x) ) ,