Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

146 3.8. Équations de structurevoisinage de a 0 1 , . . .,a0 r , alors la transformation x i = f i (x, a) appartienttoujours à la famille (8). Mais si nous exécutons tout d’abord latransformation x i = f i (x, a) et ensuite une transformation appropriée :x ′ i = x i + ∑ rk=1 λ k ξ ki (x) + · · · de la famille (8), alors d’après ce qui aété dit plus haut, nous obtenons une transformation x ′ i = f i (x, a) danslaquelle a 1 , . . .,a r peut prendre toutes les valeurs dans un certain voisinagede a 1 , . . .,a r . En particulier, si nous choisissons a 1 , . . .,a r dansle voisinage de a 0 1, . . ., a 0 r mentionné plus haut, ce qui est toujours possible,alors à nouveau la transformation x ′ i = f i (x, a) appartient aussià la famille (8). Par conséquent, nous voyons que deux transformationsde la famille (8), lorsqu’elles sont exécutées l’une après l’autre, donnentà nouveau une transformation de cette famille. En définitive, cette famille— et naturellement aussi la famille x ′ i = f i (x, a) qui s’identifieà elle — forme un groupe continu de transformations à r paramètresqui contient la transformation identique et des transformations inversesl’une de l’autre par paires.□Troisième moment : Élimination des transformations auxiliaires. Retouren arrière et examen du gain synthétique obtenu : à présent, il faut rebondiret s’interroger sur la possibilité d’une réciproque plus forte quiferait l’économie d’hypothèses secondaires — au prix d’un plus grandeffort de pensée.Les hypothèses de l’important Théorème 23 peuvent être simplifiéesd’une manière essentielle.Le théorème exprime que les 2r transformations infinitésimalesX k (f) et A k (f) déterminent un certain groupe à r paramètres dansl’espace des x ; mais au même moment, il y a une représentation de cegroupe qui est absolument indépendante des A k (f) ; en effet, d’aprèsle théorème cité, le groupe en question s’identifie à la famille des ∞ r−1groupes à un paramètre λ 1 X 1 (f) + · · · + λ r X r (f), et cette famille estdéjà déterminée par les seuls X k (f). Cette circonstance nous conduità conjecturer [Dieser Umstand führt uns auf die Vermuthung] que la familledes ∞ r−1 groupes à un paramètre λ 1 X 1 (f)+···+λ r X r (f) forme toujoursun groupe à r si et seulement si les transformations infinitésimalesindépendantes satisfont des relations par paires de la forme :(X k Xj (f) ) (− X j Xk (f) ) r∑= [X k , X j ] = c kjs X s (f).D’après le Théorème 22 p. 140, cette condition est nécessaire pour queles ∞ r−1 groupes à un paramètres ∑ λ k X k (f) forment un groupe à rparamètres. Donc notre conjecture [unsere Vermuthung] revient à suspecterque cette condition nécessaire soit aussi suffisante. [40], pp. 155–156.s=1