Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 141Deuxième moment : Réciproque intermédiaire. L’objectif est, réciproquement,de démontrer qu’une paire d’algèbres de Lie de champs devecteurs X 1 ′, . . .,X′ r et A′ 1 , . . .,A′ r permet de reconstituer les équationsde transformation d’un certain groupe fini. Spécialement, il va être établiau cours de la démonstration (voir infra) que la famille exponentiellex ′ = exp ( )λ 1 X 1 + · · · + λ r X r (x) est stable par composition, ce quel’on pourrait écrire informellement comme :exp ◦ exp ≡ exp .C’est la première fois qu’apparaît cette propriété de stabilité lorsque lenombre r de paramètres est 2, et l’on peut se convaincre que seulela condition de fermeture par crochet est à même de garantir cette propriété.Théorème 23. ([40], pp. 154–155) Si r transformations infinitésimalesindépendantes :X ′ k(f) =n∑i=1ξ ki (x ′ 1, . . ., x ′ n) ∂f∂x ′ i(k = 1 ···r)dans les variables x ′ 1 , . . ., x′ n satisfont des conditions par paires de laforme :X k( ′ X′j (f) ) − X j( ′ X′k (f) ) r∑= c kjs X s ′ (f),si de plus r transformations infinitésimales :r∑A k (f) = ˜ψ kµ (a 1 , . . .,a r ) ∂f∂a µµ=1s=1(k = 1 ···r)dans un espace auxiliaire a 1 , . . ., a r satisfont les conditions analogues :(A k Aj (f) ) (− A j Ak (f) ) r∑= c kjs A s (f)avec les mêmes constantes c kjs , et si enfin, le déterminant∑ ± ˜ψ11 (a) · · · ˜ψ rr (a) ne s’annule pas, alors on obtient commesuit les équations d’un groupe à r paramètres essentiels : on forme lesytème complet à r termes :X ′ k(f) + A k (f) = 0s=1(k = 1 ···r)et l’on détermine ses solutions générales relativement à un systèmeapproprié de valeurs a k = a 0 k . Si x i = F i (x ′ 1 , . . ., x′ n , a 1, . . ., a r )sont ces solutions générales, alors les équations résolues