Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

10 1.6. Le renversement riemannienPour Kant, l’intuition ne se règle donc pas sur la nature de l’objet,mais c’est l’objet, en tant qu’objet des sens, qui se règle sur la nature denotre pouvoir d’intuition, ou plus exactement, qui se dévoile dans et parce que nous en explorons, dans et par ce que nous en disons, et ainsi,avec le pouvoir de préformation qui nous appartient en propre, il doit enaller de même et de manière absolument générale quant aux conceptspar lesquels l’entendement élabore les déterminations de la connaissance22 (cf. [82], p 19). « Nous ne connaissons a priori des choses quece que nous y mettons nous-mêmes » : c’est l’hypothèse fondamentale(risquée) du système que Kant a érigé afin de délimiter avec exactitudela portée des raisonnements métaphysiques qui dépassent les limites detoute expérience.Ainsi d’après Kant, l’entendement ne doit pas seulement être définicomme le pouvoir d’élaborer des règles empiriques, en raisonnant parinduction, en comparant, et en extrapolant, mais surtout, à un niveau véritablementtranscendantal, comme le pouvoir structurel de prescrire enquelque sorte ses propres règles à la nature, au sens où les objets d’expériencesont nécessairement conformes aux conditions a priori danslesquelles ils peuvent être perçus et pensés — autrement dit : les formesde la sensibilité et les contraintes logiques du raisonnement préformenten quelque sorte toutes les connaissances qui sont synthétiques a priori.En quoi consiste alors, chez Riemann, le renversement philosophiquepar rapport à la tradition mathématique qui le précède ? Certainementpas dans l’élaboration d’une théorie générale de la connaissancequi serait destinée à expliquer les antinomies de la raison, les apparencestranscendantales, et les paralogismes des preuves métaphysiques. Lesmathématiques ont rarement besoin qu’on leur apprenne à corriger leursraisonnements. Toutefois, dans la trajectoire philosophique de Riemann,on trouve une analogie de fond avec la solution kantienne au problèmede la métaphysique 23 .22 Postérité remarquable de cette thèse kantienne au sujet de notre pratique de l’algèbre: bien que les idéalités algébriques (groupe de Galois ; structure d’une algèbre deLie ; diagramme de Dynkin ; groupe fini produit par générateurs et relations ; syzygiesentre invariants algébriques) possèdent un réseau non spatialisé et non temporaliséde relations complexes, notre compréhension de ces relations et les démonstrationsque nous élaborons pour les parcourir sont inévitablement linéaires et successives.L’entendement préformant (et déformant) n’approche le multiple algébrique que paractions discrètes.23 On ne méditera jamais assez les toutes premières lignes de la Critique de laraison pure ([82], p. 5) : « La raison humaine a cette destinée singulière, dans ungenre de ses connaissances, d’être accablée de questions qu’elle ne saurait éviter, car