Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 53Autrement dit, l’espace est localement euclidien si et seulement si sacourbure riemannienne s’annule identiquement. Dans ce cas, le théorèmede Pythagore est alors satisfait pour tous les triangles rectangles finissitués dans n’importe quelle surface totalement géodésique, et aussi,la somme des angles de tout triangle quelconque est égale à π.Deuxième « solution » : Riemann affirme que l’existence d’ungroupe de mouvements isométriques qui permet de transférer un élémentde surface quelconque basé en un point vers un autre élémentde surface quelconque situé en un autre point arbitraire implique laconstante de la mesure de courbure sectionnelle.Si l’on suppose, en second lieu, comme Euclide, une existenceindépendante de la position, non seulement pour les lignes, mais encorepour les corps, il s’ensuit que la mesure de courbure est partoutconstante, et alors la somme des angles est déterminée dans tous lestriangles, lorsqu’elle l’est dans un seul. [133], p. 294.L’argument intuitif est simple : un corp rigide bidimensionnel maximalementmobile suffira pour propager partout dans la multiplicité lacourbure sectionnelle qu’il possède. Toutes les surfaces géodésiques entout point orientées dans toute direction ont la même courbure : la courbureest constante. Alors dans cette circonstance et dans des coordonnéesgéodésiques normales adéquates 4 , Riemann représente la métriquepar une formule (déjà mentionnée) invariante symétrique par rapport àtoutes les variables :ds 2 =dx 2 1 + · · · + dx2 n[1 +κ4 (x2 1 + · · · + x2 n )] 2 ,définie par ζ(s) = ∑ n1 1 npour Re s > 1 et que Riemann avait introduite dans l’espoirde démontrer que le nombre des nombres premiers inférieurs à un entier n 2sse comporte asymptotiquement comme log nn, ou mieux encore (Gauss), comme le logarithmeintégral ∫ n 12 log xdx. En 1932, après des tentatives de Bessel-Hagen, Siegela étudié soigneusement ces notes manuscrites et il en a réorganisé le contenu dansun mémoire de refonte générale [149]. Toutefois, d’après Siegel : « In Riemanns Aufzeichnungenzur Theorie der Zetafunktion finden sich nirgendwo druckfertige Stellen; mitunter stehen zusammenhanglose Formeln auf demselben Blatt ; häufig ist vonGleichungen nur eine Seite hingeschrieben ; stets fehlen Restabschätzungen und Konvergenzuntersuchungen,auch an wesentlichen Punkten ».4 Dans [170], Weyl a reconstitué les calculs qui auraient pu conduire Riemann àcette expression.