Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 233mouvement continu au cours duquel P ′ 1 . . .P′ n demeurent entièrementau repos.En cela réside le fait que, par le transfert du système de pointsP 1 . . . P n depuis la position initiale : P 1 . . .P n vers la nouvelle position: P ′ 1 . . .P ′ n, une transformation ponctuelle entièrement déterminéeest définie de manière unique ; quelle que soit la façon dont ce transfertpuisse être effectué par une série de mouvement continus se succédantl’un après l’autre, on obtient toujours la même transformation ponctuellequand on effectue ces mouvements l’un après l’autre. Maintenant,puisqu’il y a exactement 1 n(n + 1) paramètres arbitraires à disposition2pour le choix du système de points P ′ 1 . . .P′ n , lorsqu’on s’imagine lesystème de points P 1 . . . P n déplacé de toutes les manières possibles,il en découle que l’ensemble de toutes les transformations ponctuelles,qui peuvent être obtenues par un nombre quelconque de mouvementscontinus de l’espace mobile à partir d’une position initiale déterminée,constitue une famille ayant exactement 1 n(n+1) paramètres essentiels.2Remarquons ensuite que cette famille de transformations ponctuellesest indépendante du choix de la position initiale de l’espace mobile,parce que, quelle que soit la manière dont on choisit la positioninitiale, il y a toujours n points P 1 . . .P n de l’espace mobile qui coïncidentavec les points : P 1 . . .P n de l’espace fixe. En cela réside le faitque la famille de transformations ponctuelles ainsi définie à l’instantconstitue un groupe. En effet, si au moyen d’une transformation quelconquede notre famille, nous amenons l’espace mobile de la positionR à la position R ′ , et si ensuite, au moyen d’une autre transformation denotre famille, nous l’amenons de la position R ′ à la position R ′′ , alorsil y a toujours une transformation entièrement déterminée appartenant àla famille, grâce à laquelle R se transforme en R ′′ .Le groupe que l’on trouve de cette manière est sûrement transitif,car il peut envoyer tout point de l’espace sur tout autre point. De plus ilest facile de voir que ses transformations sont ordonnées ensemble parpaires de transformations inverses. En effet, si S est la transformationde notre groupe qui envoie P 1 . . .P n sur P ′ 1 . . .P′ n , alors il est toujourspossible, au moyen d’un certain nombre de mouvements continus,de parvenir à ce que les points de l’espace mobile, qui coïncident avecP ′ 1 . . .P ′ n dans une situation quelconque de cet espace, arrivent finalementà la position : P 1 . . .P n . Ainsi S −1 fait toujours partie de notregroupe en même temps que S.Enfin, on peut aussi démontrer que notre groupe, que nous voulonsappeler brièvement g, est continu. En effet, s’il ne l’était pas, d’après