Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 221§ 91.Les axiomes helmholtziens.Au fondement de sa recherche, Monsieur de Helmholtz place lesaxiomes suivants, ou, hypothèses, comme il les appelle * :« I. L’espace à n dimensions est une variété n fois étendue, c’est-à-direque l’élément individuel défini en celui-ci, le point, peut être déterminé parla mesure de variables quantitatives continues et indépendantes les unes desautres (coordonnées), dont le nombre est égal à n. Chaque mouvement d’unpoint est ainsi accompagné par une modification continue d’au moins une descoordonnées. S’il devait y avoir des exceptions dans lesquelles, soit la modificationdeviendrait discontinue, soit, malgré le mouvement, absolument aucunemodification de toutes les coordonnées ne se produirait, alors ces exceptionsdevraient être limitées à certains lieux définis par une ou plusieurs équations(donc à des points, à des lignes, à des surfaces, etc. ), et ces lieux peuventinitialement rester exclus de la recherche.« On doit remarquer que par la continuité du changement au cours dumouvement, on ne signifie pas seulement que toutes les valeurs intermédiairesjusqu’à la valeur finale sont parcourues par la quantité qui se différencie d’ellemême1 , mais aussi que les quotients différentiels existent, c’est-à-dire que lerapport des changements associés des coordonnées se rapproche d’un rapportfixe, lorsque les grandeurs de ces changements diminuent progressivement.« II. On présuppose l’existence de corps mobiles mais rigides en euxmêmes,c’est-à-dire de systèmes de points, comme cela est nécessaire pourpouvoir effectuer la comparaison des grandeurs spatiales par congruence. Maiscomme nous ne sommes pas encore autorisés à présupposer une méthode spécialepour la mesure des grandeurs spatiales, la définition d’un corps rigide,ici, ne peut être que la suivante : entre les 2n coordonnées de chaque pairede points qui appartient à un corps rigide en lui-même, il existe une équationindépendante du mouvement de ce dernier, qui reste la même pour toutes lespaires de points congruentes.« Sont congruentes les paires de points qui peuvent être amenées à coïncidersimultanément, ou l’une après l’autre, avec la même paire de points del’espace.« III. On présuppose une mobilité parfaitement libre des corps rigides,c’est-à-dire, on suppose que chaque point en eux peut être déplacé continûmentvers le lieu de chaque autre point, tant que son mouvement n’est pas restreint* Gött. Nachr. 1868, p. 197 sq.1 Les symétries par rapport à un hyperplan, telles que (x 1 , x 2 , . . .,x n ) ↦−→(−x 1 , x 2 , . . .,x n ), ne sont pas admises, car elles ne sont pas reliées à la transformationidentique par une famille continue de mouvements puisqu’elles renversentl’orientation.