Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Préface au livre de Joël Merkerxvde connexion avec d’innombrables potentialités. On a considéré des situationsoù un groupe agit sur un espace topologique et on essaie de mesurerles possibilités de cette action en cherchant à obtenir des classesde cohomologie modulo cette action ou des classes qui contiennent desinformations sur cette action. On sait que par une sorte de réenveloppement,il s’est d’abord agi de voir les opérations de groupe à traversdes structures de différentiabilité qui en font des variétés. Puis on s’estintéressé aux opérations d’algèbre de Lie sur une algèbre différentielle(graduée commutative). Lie avait ouvert la voie d’exploration des opérationsde la pensée qui plongent dans l’algébrisation du différentiel etdu continu. C’est cette thématique qui ne cesse d’être réactualisée àtravers des couches complexes de structures réflexives qui les hiérarchisentparfois ou les diffractent selon des organisations en cascade quine demandent qu’à faire le matériau pour de nouvelles virtualités philosophiqueset de nouveaux philosophes.Si j’ai insisté sur ce qui me semble nécessaire pour qu’une philosophiedes mathématiques se redéploie plus proche des mathématiquesréelles, il n’en reste pas moins que des questions comme celle de l’objectivité,de la vérité, continuent de faire le fond de la réflexion philosophique.Alain Connes a proposé trois critères d’objectivité des mathématiques(cf. [26], pp. 134–135).• La possibilité de classer exhaustivement les objets définis par uneaxiomatique qui témoignerait de l’existence de contraintes objectivespar lesquelles les univers des possibles seraient nécessités. C’est cettepossibilité que déploient Lie et Engel et que Joël Merker prolonge aprèsl’avoir admirablement problématisée. La question dominante pour Liedans la théorie qu’il a érigée était de classifier à équivalence près tousles groupes de transformation possibles.• La cohérence et l’harmonie inter-théoriques globales des théoriesmathématiques attestées par les faits d’intertraductibilité, ce qui témoignepour l’unité des mathématiques, laquelle d’ailleurs ne sauraitêtre conçue comme une possibilité de les réduire à un calcul unique.C’est ce caractère architectonique en soi de l’ensemble du corpus mathématiqueque développent la théorie des catégories et l’œuvre de Grothendieck.C’est aussi cet aspect qui commence avec les mathématiquesdu 19 ème siècle et que Lie réassume.• Le fait que les théories mathématiques intéressantes ont uncontenu informationnel infini. De ce point de vue, aucun objet mathématiquene restera en repos. La reprise caractérise la progression et