Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

254 Division V. Chapitre 21. § 96.pour chaque paire de systèmes de valeurs distincts l’un de l’autre :x 0 1 , y0 1 , z0 1 et x0 2 , y0 2 , z0 2 , fournit une véritable équation entre x 1, y 1 , z 1 ,x 2 , y 2 , z 2 , dans un certain voisinage de l’origine des coordonnées.Deuxièmement, après fixation de l’origine des coordonnées,chaque point quelconque x 0 , y 0 , z 0 qui est situé dans un certain voisinagede l’origine des coordonnées, doit pouvoir encore se transformeren tous les points x, y, z de ce voisinage, qui satisfont l’équation :(34) J ( x, y, z; 0, 0, 0 ) = J ( x 0 , y 0 , z 0 ; 0, 0, 0 ) ,et à travers laquelle un transfert continu entre tous les points de cettesorte est généralement possible * .Troisièmement, l’axiome de monodromie doit être satisfait.Nous recherchons tout d’abord, pour chaque groupe individuel dela page 215, si la première de ces exigences est satisfaite, et lorsqu’ellel’est, nous nous demandons alors si la deuxième est satisfaite ; et nousne prendrons en considération l’axiome de monodromie que dans lesdernières lignes. Comme par ailleurs le groupe des mouvements euclidienset les deux groupes de mouvements non-euclidiens satisfontévidemment toutes nos exigences, dès le début, nous les laissons simplementde côté.Le fait que les deux groupes :(35) p, q, r, xq − yp, yr + zq, zp + xret :(36) p − xU, q − yU, r + zU, xq − yp, yr + zq, zp + xrsatisfont notre première exigence est à portée de main, puisque parexemple, pour le premier d’entre eux, l’équation (33) s’énonce de lamanière suivante :{(x2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 − (z 2 − z 1 ) 2 == (x 0 2 − x0 1 )2 + (y 0 2 − y0 1 )2 − (z 0 2 − z0 1 )2 ,et ceci est toujours une véritable équation entre x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 .Néanmoins, ces deux groupes ne satisfont pas la deuxième exigence.* À vrai dire, dans le § 93, on demande encore plus, mais nous verrons que cetteexigence suffit déjà complètement.