Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 275caractérisés par l’exigence qu’il doivent avoir la libre mobilité dansl’infinitésimal en un point de position générale.Mentionnons encore que les développements qui précèdent nevalent pas seulement pour les groupes réels dont les transformationsfinies sont représentées par des équations analytiques, mais aussi pourles groupes dont les équations finies sont non-analytiques, pourvu seulementque ces équations autorisent un certain nombre de différentiationspar rapport aux variables et par rapport aux paramètres (voir p. 365 etp. 366).§ 100.Sur le discours d’habilitation de Riemann.Les recherches sur la libre mobilité dans l’infinitésimal que nousvenons de conduire sont en relation avec certaines réflexions queRiemann à indiquées sans son discours d’habilitation. Nous voulonsdonc généralement entrer plus avant dans le contenu de ce discours,d’autant plus qu’il a plusieurs points de contact avec toutes les recherchesrécentes sur les fondements de la géométrie.Riemann n’est jamais facile à lire, mais sa célèbre allocution « Surles hypothèses qui servent de fondement à la géométrie » présente desdifficultés de compréhension d’un type tout à fait spécial. Riemann a dûprésenter sa soutenance devant une assemblée qui ne consistait qu’enpartie de mathématiciens, et pour cette raison, il s’est efforcé d’être leplus général possible, afin d’être intelligible ; mais de manière sousjacente,la netteté et la détermination de l’expression a subi des dommagesen de très nombreux endroits, et la conséquence en est que maintenant,le mathématicien est justement assez souvent dans le doute quantà ce que Riemann a effectivement voulu dire.Cette insuffisance se fait particulièrement sensible dans la partiede l’exposé où Riemann parle de la mobilité des figures d’un espace nfois étendu ; Riemann s’aide d’expressions qui certes peuvent semblercompréhensibles à des non-mathématiciens, mais dont le sens véridiquene peut qu’être deviné par le mathématicien.Malheureusement, à ce jour, personne n’a encore jusqu’à présentexaminé le contenu du discours de Riemann sous toutes ses facettesaussi précisément que nous l’avons effectué dans le Chapitre 21, dontle contenu est celui de l’étude helmholtzienne « Sur les faits qui setrouvent au fondement de la géométrie ». Certes, on a rétabli la théorieriemanienne de la mesure de courbure d’un R n d’après les indicationsde Riemann, et on s’est convaincu que la longueur d’un élément