Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 35De quels types de rapports métriques est susceptible une multiplicité ?Il s’agit de trouver des conditions qui caractérisent les différentes manièrespossibles de munir une multiplicité donnée d’un concept supplémentairequi permette de parler de la distance qui existe entre toutes lespaires de points. Or le titre passablement énigmatique de la sous-sectionconcernée :Rapports métriques dont est susceptible une variété de n dimensions,dans l’hypothèse où les lignes possèdent une longueur, indépendammentde leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par touteautre lignea plongé dans la perplexité de nombreux mathématiciens, philosophes,historiens et commentateurs. Tout d’abord, que signifie exactementcette seconde hypothèse elliptique d’après laquelle toute ligne doit êtremesurable par toute autre ligne ? Faut-il y voir un principe d’arpentage :déplacement libre des règles (ou des lignes) ? Doit-on en faire toujoursun axiome, en vertu d’une évidence physique imparable ? Par « lignes »,faut-il entendre n’importe quelle courbe tracée dans la multiplicité ? Untel principe de métrisation implique-t-il des comparaisons au niveau localfini, ou bien des comparaisons dans l’infinitésimal ?Riemann n’est jamais facile à lire, mais sa célèbre allocution« Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie » présentedes difficultés de compréhension d’un type tout à fait spécial.§ 100, p. 275 ci-dessous.Autre énigme : que signifie la première hypothèse elliptiqued’après laquelle les lignes possèdent une longueur, indépendamment deleur position ? Faut-il y voir une allusion à la libre mobilité des courbeset à l’invariance de leur longueur, lorsqu’on effectue une série de transformationsponctuelles de l’espace ? Mais une telle interprétation entreraiten contradiction avec le fait que la métrisation est et doit êtreabsolument indépendante de la mobilité ; une telle indépendance vauten effet déjà pour la théorie gaussienne des surfaces, et Riemann a explicitementénoncé que cette théorie contient les fondements de la questionqu’il va traiter. En tout cas, par rapport à la théorie gaussienne dessurfaces courbes qui héritent d’une métrique « ondulée » par restrictionde la métrique pythagoricienne « plate » de l’espace à trois dimensions,Riemann va renverser 69 complètement la réflexion.69 Voir le § 1.6 p. 9