Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

30 1.15. Modes d’engendrement du multidimensionnelcomparaison inclusive, sans pour autant l’être du point de vue de la mesurenumérique 63 . Il faut ainsi libérer la notion d’étendue de l’emprisedes grilles et des règles graduées, afin de penser l’étendue en termesde régions 64 situées dans une certaine multiplicité [als Gebiete in einerMannigfaltigkeit].Immédiatement et explicitement, Riemann divise donc le problèmeconcerné en deux sous-problèmes :Problème 1 : engendrer le concept de multiplicité par synthèse et paranalyse, en ayant recours à des modes de détermination quantitifs nonmétriques.Problème 2 : trouver des conditions pour ramener les déterminationsde lieu à des rapports métriques de type distance.Évidemment, l’étude de ces deux questions générales devra toujoursêtre encadrée par les mêmes exigences « méta-mathématiques universelles» qui animent constamment Riemann :• donner des conditions suffisantes pour la genèse ;• donner des conditions nécessaires pour la genèse ;• établir la nécessité et la suffisance de conditions génétiques ;• éliminer les caractères spécifiques étrangers au concept pur.Pour accéder vraiment à une telle pensée génétique, il nous faut maintenantmettre complètement entre parenthèses les actes de postulationaxiomatique par lesquels nous nous permettons aujourd’hui d’acceptersans nous poser plus de questions aussi bien les définitions formellesinitiales structurées que les entames telles que « Soit M une variété différentiablede dimension n », ou « Soient (p 1 , . . .,p n , q 1 , . . ., q n ) descoordonnées locales sur l’espace des phases P d’un système hamiltonienquelconque ». Riemann cherche en fait à démontrer que l’on peutramener la détermination locale des étendues géométriques à des suitesde quantités numériques : c’est un pur problème de genèse, qui ne préoccupeplus notre époque.63 Par son traitement détaillé des multiplicités continues qui précède l’introductionde coordonnées numériques, Riemann affirmait clairement que les nombres jouent unrôle auxilaire en géométrie, s’exprimant de ce fait à contre-courant de la tendancegénérale à l’arithmétisation de l’analyse et de la géométrie ([140], pp. 30–34).64 Acte de saisie intuitive archaïque du spatial : comment le caractériser ? Les travauxde Sophus Lie déploieront une pensée du spatial multidimensionel amétrique etmobile dans un langage essentiellement rhétorique et algébrique qui cherche néanmoinsà transmettre chaque acte de pensée intuitive.