Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 109nouveau flot est effectivement donné par ŷ ′ = ŷ et par y ′ 1 = y 1 + t, et sion effectue ensuite des substitutions :x ′ = f ( ) (0, ŷ ′ ; y 1′ = f 0, ŷ; y1 + t ) (2)= f ( f ( ) )0, ŷ; y 1 ; t = f(x; t),nous retrouvons de cette manière-là le flot x ′ = f(x; t) qui était définide manière unique.□En général, dans les traités contemporains de géométrie différentielle,les flot sont étudiés sous l’hypothèse que les champs de vecteurssoient différentiables, de classe au moins C 1 , voire lipschitziens.Mais dans le cas où les coefficients des champs de vecteurs sont tousanalytiques (hypothèse générale admise par Engel et Lie), il existeune série entière explicite et simple, appelée série de Lie (et étudiéeentre autres par Gröbner [66]), qui redonne le flot sans aucune intégration,directement à partir des coefficients du champ de vecteurs.Admettons donc le résultat d’après lequel le flot (local ou global)est analytique, si les ξ i (x ′ ) le sont 25 . La solution formelle x ′ (x; t) dusystème d’équations différentielles ordinaires (1) satisfaisant x ′ (x; 0) =x peut être recherchée en développant l’inconnue x ′ en série formellepar rapport à la variable temporelle t, les deux premiers termes étantévidents :X ′ = ∑ ni=1 ξ i(x ′ ) ∂∂x ′ ix ′ i (x; t) = ∑ k0Ξ ik (x) t k = x i + t ξ i (x) + · · ·(i =1··· n).Ainsi donc, quelles sont les fonctions-coefficients Ξ ik (x) ? En différentiant(1) une première fois par rapport à t, puis en redérivant encore unefois le résultat obtenu, tout en resubstituant comme il se doit, on obtientpar exemple :⎡⎢⎣d 2 x ′ idt 2 = n∑k=1d 3 x ′ idt 3 = n∑k=1∂ξ i∂x ′ kdx ′ kdt∂X ′ (ξ i )∂x ′ k= X ′ (ξ i ) (i = 1 ··· n)dx ′ kdt= X ′( X ′ (ξ i ) ) ,25 Voir [92] ; nous pourrions en fait ré-établir un tel résultat via des techniques deséries majorantes en partant de la formule exponentielle de Lie que nous allons donnerà l’instant.