Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 137alors il existe entre les 2r transformations infinitésimales :n∑X j(F) ′ = ξ ji (x ′ 1, . . .,x ′ n) ∂F∂xi=1ir∑A j (F) = ˜ψ jµ (a 1 , . . .,a r ) ∂F∂a µµ=1des relations de la forme :⎧(3)X ⎪⎨ k( ′ X′j (F) ) − X j( ′ X′k (F) ) =⎪⎩A k(Aj (F) ) − A j(Ak (F) ) =r∑c kjs X s ′ (F)s=1r∑c kjs A s (F)s=1(j = 1 ···r)(j = 1 ···r)(k, j = 1 ···r),(k, j = 1 ···r),où les c kjs désignent des constantes numériques. En conséquence decela, les r équations :X ′ j (F) + A j(F) = 0(k = 1 ··· r),qui sont résolubles par rapport à ∂F∂a 1, . . .,∂F∂a r, constituent un systèmecomplet à r termes en les n+r variables x ′ 1 , . . .,x′ n , a 1, . . ., a r ; si l’onrésout les n équations x ′ i = f i (x, a) par rapport à x 1 , . . .,x n :x i = F i (x ′ 1 , . . .,x′ n , a 1, . . .,a r )(i =1··· n),alors F 1 (x ′ , a), . . ., F n (x ′ , a) sont des solutions indépendantes de cesystème complet.Démonstration. Pour commencer, résolvons donc les équations :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) (i =1··· n)par rapport à x 1 , . . .,x n , ce qui donne :x i = F i (x ′ 1 , . . .,x′ n , a 1, . . .,a r )(i =1··· n).Alors on peut aisément déduire certaines équations différentielles quisont satisfaites par F 1 , . . .,F n . Si en effet nous différentions simplementles identités :F i(f1 (x, a), . . .,f n (x, a), a 1 , . . .,a r)≡ xipar rapport à a k , nous obtenons pour i fixé l’identité :n∑ ∂F i (x ′ , a) ∂f ν (x, a)+ ∂F i(x ′ , a)≡ 0,∂x ′ ν ∂a k ∂a kν=1