Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

234 Division V. Chapitre 21. § 92.le Tome I, Chap. 18 7 , il serait composé d’une série de familles continuesséparées, dont chacune contiendrait 1 n(n+1) paramètres et parmi2ces familles, il y en aurait une qui est continue et qui constituerait ungroupe g à 1 n(n+1) paramètres contenant des transformations inverses2par paires. Ce groupe g serait le seul auquel appartient la transformationidentique, parmi les familles continues concernées. Mais maintenant,chaque famille continue de ∞ 1 transformations qui est déterminéepar un mouvement continu contient la transformation identique (voirp. 223) et elle fait donc partie du groupe g ; par conséquent, le groupeg comprend aussi toutes les transformations qui proviennent de l’accomplissementd’un nombre quelconque de mouvements continus l’unaprès l’autre. Il en découle que g est contenu dans g et comme g était unsous-groupe de g, nous pouvons conclure que g coïncide avec g, c’està-direque g est effectivement continu.Avec les hypothèses qu’a faites de Monsieur de Helmholtz,l’énoncé suivant est donc valide :Lorsqu’on effectue un nombre quelconque de mouvements continusde l’espace les uns à la suite des autres, parmi ceux qui sont lesplus admissibles possibles, on obtient un groupe continu fini transitifg de transformations réelles qui renferme exactement 1 n(n + 1) paramètreset dont les transformations sont inverses l’une de l’autre par2paires.Il va alors de soi que relativement à ce groupe, deux points ont unet un seul invariant, et que s > 2 points n’ont pas d’invariant essentiel.En effet, si deux points possédaient par exemple plus d’un invariantrelativement au groupe, ils possèderaient alors évidemment aussi cetinvariant relativement à tous les mouvements continus, alors qu’ils nedoivent avoir qu’un seul invariant relativement à ces mouvements.Grâce à ce qui précède, il a été démontré que nous avons affaire àun groupe continu fini et que relativement à ce groupe, deux points ontun et un seul invariant, tandis que s > 2 points n’ont pas d’invariant essentiel.Nous avons déjà étudié dans le Chapitre 20 les groupes de cetteespèce, et bien que nous nous soyons limités, à ce moment-là, à l’espacede dimension trois, on peut néanmoins appliquer immédiatementau cas de l’espace n fois étendu au moins une partie des raisonnementsconduits à cet endroit-là, à savoir les développements des pages 166–173. Nous reconnaissons ainsi que chaque groupe ayant la constitution7 Ce chapitre est consacré à l’étude des groupes de transformations comportantplusiseurs composantes connexes.