Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 315Après que l’existence des pseudodroites est connue, on montre ànouveau, exactement comme dans le cas n = 4, que les ∞ n−1 élémentslinéaires réels passant par chaque point réel fixé en position généralesont transformés par G de manière euclidienne ou non-euclidienne.Enfin, on démontre facilement qu’ils ne peuvent certainement pas êtretransformés de manière euclidienne, et grâce à la considération des casrestants, on obtient que G peut être transformé, via une transformationponctuelle réelle de R n , soit en le groupe des mouvements euclidiens,soit en l’un des deux groupes de mouvements non-euclidiens de R n .Nous voulons terminer le présent chapitre en rectifiant une petiteerreur qui s’est glissée aux pages 229 sq. À cet endroit-là, nousavons en effet dit que le troisième axiome de Monsieur de Helmholtz estconstitué de deux parties, dont la seconde contient certaines exigencesqui ne découlent pas de celles qui sont posées dans la première, bienque, d’après sa version, cette seconde partie semble contenir seulementdes conséquences de la première. Mais en fait, les choses se passenttout autrement. Si en effet on comprend ce que nous avons appelé àce moment-là la première partie du troisième axiome helmholtzien detelle sorte que, quand un point P 1 est fixé, chaque autre point doit pouvoirse mouvoir d’une manière entièrement libre sur la pseudosphère decentre P 1 qui passe par lui, et si l’on en tire la conclusion qu’une pseudosphèrene peut jamais passer par son centre, alors à vrai dire, ce quenous avons appelé la seconde partie du troisième axiome helmholtzienne contient rien qui ne découle pas déjà de la première partie ; cela estmontré par des considérations similaires à celles que nous avons développéesdans le présent chapitre, et par exemple, dansR 3 , afin de démontrerque trois pseudosphères dont les centres sont mutuellement enposition générale se coupent généralement en un seul point. Et maintenant,puisqu’au cours de notre recherche sur les axiomes helmholtziens,nous avons toujours interprété cela de telle sorte qu’une pseudosphèrene doit pas passer par son centre (cf. p. 253), notre division en deuxparties du troisième axiome effectuée aux pages 229 sq. est erronée. Àvrai dire, il reste toujours des chances que Monsieur de Helmholtz aitproposé les conséquences qu’il tire de son troisième axiome, sans lesjustifier, bien que leur justification ne soit pas du tout aussi simple quecela.