Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

32 1.15. Modes d’engendrement du multidimensionnelbidimensionneltridimensionnelunidimensionelen arrièreen avantsoudureLe tridimensionnel s’engendre alors de manière analogue par déploiementextériorisé de l’unidimensionnel le long d’un bidimensionnel, etainsi de suite pour les dimensionnalités d’ordre supérieur. Autre interprétationde ce procédé : la variation de la variabilité produit une variabilitéd’ordre supérieur.Si, au lieu de considérer le concept comme déterminable, onconsidère son objet comme variable, on pourra désigner cette constructioncomme la composition d’une variabilité de n + 1 dimensions, aumoyen d’une variabilité de n dimensions et d’une variabilité d’une seuledimension. [133], p. 284.Et maintenant, le resserrement des conditions : il faut à présent s’interrogerpour savoir si une analyse inverse est possible, car l’existencede deux genèses réciproques montrerait que le concept de multiplicité aété entièrement circonscrit. À un procédé de composition par inductiondoit donc succèder une analyse par décomposition dimensionnelle.Je vais maintenant montrer réciproquement comment une variabilité,dont le champ est donné, peut se décomposer en une variabilitéd’une dimension et une variabilité d’un nombre de dimensions moindre.[133], p. 284.À cet instant précis va se dévoiler pour la première fois dans le textede Riemann l’interdépendance fondamentale entre le fonctionnel et legéométral. C’est le premier moment où, à dessein, l’analyse et l’algèbrecommencent à vouloir capturer la géométrie.L’idée est simple : dans une portion de multiplicité, les éléments diversde la multiplicité comptés à partir d’un point fixé à l’avance doiventposséder un principe de différenciation spécifique par rapport au pointen question. Autrement dit, on peut s’imaginer qu’à l’intérieur de laditemultiplicité, il existe au moins une certaine fonction du lieu qui ne soitconstante le long d’aucune sous-portion de cette multiplicité. Ici, il nes’agit pas de définir axiomatiquement le géométral et le fonctionnel àpartir d’atlas maximaux de cartes locales à valeurs dans un ouvert deR n ([154, 140, 125]). Il s’agit plutôt d’observer que le fonctionnel naît