Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

148 3.8. Équations de structureIntroduisons aussi les transformations infinitésimales qui sont les refletsdes X k dans chaque espace :n∑X (µ)k(f) = ((µ))ξ ki x 1 , . . .,x n(µ) ∂fi=1∂x (µ)iet considérons les r transformations infinitésimales :r∑W k (f) = X (µ)k(f).µ=1D’après la Proposition p. 123 ci-dessus, ces transformations infinitésimalessont telles qu’aucune relation de la forme :r∑k=1(ψ k x′1 , . . .,x ′ n, x ′′1, . . ., x ′′ n, · · · · · · , x (r) )1 , . . .,x (r)n · Wk (f) = 0n’est possible, c’est-à-dire : ces transformations infinitésimales sont indépendantes.Maintenant, puisqu’on a de plus :W k(Wj (f) ) − W j(Wk (f) ) =r∑c kjs W s (f),s=1les r équations indépedantes l’une de l’autre :W 1 (f) = 0, · · · · · · , W r (f) = 0forment un système complet à r termes en les rn variablesx ′ 1, . . .,x ′ n, · · · , x (r)1 , . . .,x (r)n . Ce système complet possède r(n − 1)solutions indépendantes, que l’on peut appeler u 1 , u 2 , . . .,u rn−r . Doncsi l’on sélectionne r fonctions y 1 , . . .,y r des rn quantités x (µ)i quisont indépendantes l’une de l’autre et indépendantes de u 1 , . . .,u rn−r ,on peut alors introduire les y et les u comme nouvelles variablesindépendantes à la place des x (µ)i . En effectuant cela, on obtient :W k (f) =r∑π=1W k (y π ) ∂frn−r∑+ W k (u τ ) ∂f ,∂y π ∂uτ=1τou encore, puisque tous les W k (u τ ) s’annulent identiquement :W k (f) =r∑π=1ω kπ (y 1 , . . ., y r , u 1 , . . .,u rn−r ) ∂f∂y π,,