Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

46 1.19. Courbure sectionnelle de Riemann-Christoffel-Lipschitzdimensions supérieures. Peut-être même sans qu’il s’en soit réellementdouté, Riemann a-t-il été conduit à entrevoir la bidimensionnalité purede la courbure. Seuls les travaux de Lipschitz et de Christoffel confirmerontcette intuition. Impossible donc de se faire une idée a priori del’intrinsèque qui l’exempte de l’imprévisibilité contingente des nécessitéslatérales inscrites dans des modalités hypothétiques.En toute dimension n 2, Riemann va donc approcher le conceptde courbure par sections de surfaces, domaine où la théorie de Gausss’appliquera. C’est peut-être cette idée fondamentale qui a guidé le mystérieuxcalcul que la Commentatio (cf. note p. 5) nous transmet sansdétails intermédiaires : faire vivre le bidimensionnel gaussien dans lemultidimensionnel.Soient en effet x = (x 1 , . . .,x n ) des coordonnées (numériques)locales dans lesquelles le carré ds 2 de la longueur de l’élément linéaire(dx 1 , . . .,dx n ) basé au point x s’exprime par l’expression quadratique∑ ni,j=1 g i,j(x) dx i dx j , le point central étant l’origine 0 = (0, . . .,0).Riemann commence par effectuer un simple développement de Taylorà l’ordre deux de tous les coefficients métriques :g i,j (x) = g i,j (0) +n∑k=1∂g i,j∂x k(0) x k + 1 2n∑k,l=1∂ 2 g i,j∂x k ∂x l(0) x k x l + · · · .Principe mathématique absolu : contracter, éliminer les termes superflus,rendre visible l’être dans sa plus simple expression. Tout d’abord,la diagonalisation des formes quadratiques définies positives à coefficientsréels permet immédiatement, quitte à effectuer au préalable unchangement linéaire de coordonnées, de supposer qu’on a à l’origineg i,j = δ i,j , d’où :n∑i,j=1g i,j (0) dx i dx j = dx 2 1 + · · · + dx2 n .Si l’on introduit ces grandeurs, alors, pour des valeurs infinimentpetites des x, le carré de l’élément linéaire sera = ∑ dx 2 ; le terme del’ordre suivant dans ce carré sera égal à une fonction homogène du seconddegré des n n−12grandeurs (x 1 dx 2 − x 2 dx 1 ), (x 1 dx 3 − x 3 dx 1 ), . . .,c’est-à-dire qu’il sera un infiniment petit du quatrième ordre ; de tellesorte que l’on obtient une grandeur finie en divisant ce terme par lecarré du triangle infiniment petit dont les sommets correspondent auxsystèmes de valeurs (0, 0, 0, . . .), (x 1 , x 2 , x 3 , . . .), (dx 1 , dx 2 , dx 3 , . . . )des variables. [133], p. 289.