Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

102 3.5. Équations différentielles fondamentalesavant de le résoudre, nous obtenons en fait (noter le signe « moins ») :( ∂bπ) 1πr(e, e) = −I r×r ,∂a k 1krd’où Ψ kπ (e, e) = −δk π, où le symbole δπ k vaut 1 si k = π et 0 sinon.Nous pouvons donc maintenant insérer dans (2) la valeur obtenueΨ kπ pour ∂bπ∂a k, ce qui nous donne des équations aux dérivées partiellesqui sont absolument cruciales dans toute la théorie de Lie :(2’)∂x ′ ν∂a k(x; a) =r∑Ψ kπ (a, b) · Ξ πν (x ′ , b) (ν =1··· n, k =1··· r)π=1Ces équations sont de la plus haute importance [äusserst wichtig],comme nous allons le voir plus tard. [40], p. 29.Ici, nous avons remplacé c par c = c(a, b) = a · b, d’oùb ( a, c(a, b) ) ≡ b, et nous avons reconsidéré (a, b) commes variablesindépendantes.Maintenant, en posant b := e dans ces équations (2’), les dérivéespartielles par rapport aux paramètres a k des transformationsx ′ i = x′ i (x; a) s’expriment par des équations différentielles :(2”)∂x ′ i∂a k(x; a) =r∑ (ψ kj (a) · ξ ji x ′ (x; a) )j=1(i = 1 ··· n, k =1··· r),qui les font apparaître comme combinaisons linéaires, avec certains coefficientsψ kj (a) := Ψ kj (a, e) qui dépendent seulement de a des quantitésξ ji (x ′ ) := Ξ ji (x ′ , b) ∣ ∣b=e. Mais nous connaissons en fait déjà cesfonctions ξ ji (x ′ ).En effet, si nous posons a = e dans ces équations, alors grâce àψ kj (e) = −δ j k, nous obtenons immédiatement :ξ ki (x) = ξ ki(x ′ (x; e) ) = − ∂x′ i∂a k(x; e),d’où les ξ ki (x) coïncident, modulo un signe « moins » uniforme, avec lescoefficients des r transformations infinitésimales que nous avons déjàintroduites p. 98, et que nous avons considérées comme des opérateursde dérivations donnant la direction d’un mouvement infinitésimal de