Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

86 3.1. Paramètres essentielsdépendant de seulement ρ ∞ paramètres qui redonnent par substitutionles anciennes équations de transformations :g i(x; b(a))≡ fi (x; a)(i = 1 ··· n).Définition. Les paramètres (a 1 , . . .,a r ) d’équations de transformationsdonnées x ′ i = f i(x, a), i = 1, . . .,n, sont dits essentiels si, après développementen série entière f i (x, a) = ∑ α∈N n F i α(a) (x − x 0 ) α autourd’un point x 0 , le rang générique ρ ∞ de l’application infinie des coefficientsF ∞ : a ↦−→ ( F i α (a)) α∈N n ,1in est maximal possible, égal aunombre r des paramètres, à savoir : ρ ∞ = r.Dans ce cas, Engel et Lie disent des équations de transformationsqu’elles comportent r-termes [r-gliedrig]. Grâce à ce théorème, on peuttoujours — pourvu que l’on admette le principe de relocalisation libreen un point générique 5 — supposer sans aucune perte de généralité queles paramètres de toutes les équations de transformations sont essentiels.Du point de vue de la philosophie des mathématiques, le paramétriquepeut être et doit être ainsi définitivement réduit à sa qualitéessentielle. Par conséquent, dans ce qui va suivre, les paramètres seronttoujours supposés essentiels.Pour terminer sur l’essentialité des paramètres, voici encore un critèreeffectif qui sera utilisé plus loin de manière incidente, mais quenous énoncerons sans fournir de démonstration (voir [110]) afin de nepas retarder la présentation des concepts centraux.Théorème. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :(i) Dans les équations de transformations :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a r ) = ∑ α∈N n F i α (a) (x −x 0) α(i =1··· n),les paramètres a 1 , . . .,a r ne sont pas essentiels.(ii) (Par définition) Le rang générique ρ ∞ de la matrice jacobienneinfinie :( ∂Fi ) α∈N n ,1inJac F ∞ (a) = α(a)∂a j 1jr5 Sans admettre ce principe, la théorie des singularités devrait être convoquée.Néanmoins, lorsque les équations de x ′ i = f i(x; a) constituent un groupe continufini local de transformations au sens qui est défini dans le § 3.2 ci-dessous, on vérifietechniquement (cf. [110]) qu’aucune relocalisation n’est nécessaire pour éliminer lesparamètres superflus, la raison « philosophique » étant que tout groupe agit transitivementsur lui-même, ce qui force les rangs (génériques) à être constants.