Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 187X 1 f . . .X 6 f. Maintenant, comme d’après la Proposition 3, p. 181 legroupe : X 1 f . . .X 6 f doit transformer de trois manières différentes[dreigliedrig transformiren] toute famille de ∞ 1 surfaces qu’il laisseinvariante, il s’ensuit que le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f, interprétécomme groupe du plan des x, y, transforme de trois manières différentestoute famille de ∞ 1 courbes qu’il laisse invariante. Mais parmiles groupes imprimitifs du plan à cinq ou à six paramètres, il n’y en aproportionnellement qu’un petit nombre qui satisfont à cette exigence,comme le montre le Tableau p. 71 sq. 7 , et pour préciser, par un choix appropriéde x et de y, ceux qui ont six paramètres peuvent être rapportésà l’une des trois formes :⎧⎪⎨q, xq, yq, p, xp, x 2 p + xyq(25) q, xq, x 2 q, p, xp + yq, x 2 p + 2xyp⎪⎩q, yq, y 2 q, p, xp, x 2 p,et ceux qui ont cinq paramètres à la forme :(26) q, xq, p, 2xp + yq, x 2 p + xyq.Ainsi, nous avons trouvé toutes les formes possibles du grouperéduit : X 1 f . . . X 6 f et nous avons seulement à déterminer encore, pourchacun de ces groupes réduits, quels sont les groupes à six paramètres :X 1 f . . .X 6 f en les trois variables x, y, z qui produisent de tels groupesréduits. Avec cela, nous devrons naturellement tenir compte du fait quele groupe : X 1 f . . .X 6 f ne doit pas comporter deux transformationsinfinitésimales ayant les mêmes courbes intégrales. Quand nous auronsdéterminé les différentes formes du groupe : X 1 f . . .X 6 f qui satisfaitcette dernière condition, nous devrons finalement examiner encore, pourchacun des groupes trouvés, si deux points possèdent un invariant, et sis > 2 points n’ont aucun invariant essentiel.Nous supposerons en premier lieu que le groupe réduit :X 1 f . . .X 6 f a six 8 paramètres, et ensuite, nous supposerons qu’il en acinq 9 .k = 1, . . .,6. Géométriquement, la famille des surfaces réglées formées au-dessusdes courbes ϕ(x, y) = const. par ajout en chaque point d’une droite parallèle à l’axedes z reste invariante par les X k , puisqu’ils se déduisent des X k par simple ajoutd’une transformation ζ ∂ z parallèle à l’axe des z.7 À nouveau, il s’agit du Théorème 6.8 Il s’agit des quatre groupes réduits (24) 1 et (25) 1 , (25) 2 , (25) 3 .9 Il s’agit des deux groupes réduits (24) 2 et (26).