Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 131qui sont analytiques dans un certain voisinage (x 0 1 , . . .,x0 n ) et qui, deplus, se réduisent à x 1 , . . .,x n−q lorsqu’on pose x n−q+1 = x 0 n−q+1 , . . .,x n = x 0 n .De plus, pour toute autre solution f de X 1 f = · · · = X q f = 0, ilexiste une fonction analytique locale F = F(ω 1 , . . .,ω n−q ) définie auvoisinage de (x 0 1, . . .,x 0 n−q) dans C n−q telle que :f(x) ≡ F ( ω 1 (x), . . .,ω n−q (x) ) .D’après Lie ([40], p. 91), ce théorème central de la théorie des systèmescomplet n’avait pas été énoncé d’une manière aussi précise, nipar Jacobi, ni par Clebsch, bien qu’il soit implicitement contenu dansdes mémoires de Cauchy, de Weierstrass, de Briot et Bouquet, de Kowalevskyet de Darboux consacrés à l’existence des solutions de systèmesd’équations aux dérivées partielles. Frobenius ([54]) en fera la synthèsefinale 34 .3.8. Constantes de structure et correspondance fondamentale. Expliquonsmaintenant dans le détail comment, au Chapitre 9 de [40],Engel et Lie organisent 35 la présentation de ces théorèmes fondamentaux,eu égard à cette idée fixe de la théorie commençante : économiser àla fois l’axiome de l’élément identité et l’axiome des éléments inverses.Filigrane de tension métaphysique : il s’agit d’engendrer la théorie ducontinu en complète analogie harmonique avec la théorie discrète desgroupes de substitutions.Soit donc une famille d’équations de transformations à r paramètresessentiels :( )(1) x ′ i = f i x1 , . . .,x n ; a 1 , . . ., a r (i = 1 ···n).34 Voir [69] pour une excellente mise en perspective historique et philosophique.35 Dans ce paragraphe 3.8, nous traduisons en l’adaptant librement la majeure partiedu Chapitre 9 de [40]. Les théorèmes fondamentaux de la théorie y apparaissentdéployés dans une pensée beaucoup plus systématique que ce que la postérité en a retenu.En particulier, la classification en trois Théorèmes fondamentaux telle qu’établieaprès la rédaction du premier volume, à savoir : 1) l’existence d’équations différentiellesfondamentales ; 2) l’existence de constantes dans les crochets entre générateursinfinitésimaux ; 3) la reconstition d’un groupe de Lie local à partir d’un système deconstantes satisfaisant les identités algébriques naturelles correspondant à l’antisymétrieet à l’identité de Jacobi (cf. Schur, Scheffers, Cartan, Campbell, Bianchi etd’autres) simplifie l’exposition d’origine, toute entière orientée vers l’exploration spéculativedes axiomes fondamentaux.