Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 225Dans l’Axiome II, il est demandé en plus que l’équation en questionsoit la même pour toutes les paires de points congruentes, doncpour toutes les paires de points qui peuvent être envoyées l’une surl’autre par les mouvements ; par conséquent, elle ne dépend, en dehorsde x 1 . . .x n , y 1 . . .y n , que des coordonnées quelconques d’une pairede points congruents que l’on peut choisir librement, par exemple dex 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n , donc cette équation peut être rapportée à la forme 4 :(2) Φ ( x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)= 0.En particulier, cette équation doit encore être satisfaite lorsque la pairede points x ν , y ν coïncide avec la paire de points x 0 ν, yν, 0 et comme onpeut donner aux quantités x 0 ν, yν 0 des valeurs numériques quelconques,et que donc par suite il ne peut pas exister de relation seulement entre :x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n , il en découle que l’équation (2) doit se réduire à uneidentité lorsqu’on fait la susbstitution :x ν = x 0 ν , y ν = y 0 ν (ν =1 ···n).De là, il suit en même temps que (2) ne peut pas être libre de toutes les2n quantités x 0 ν , y0 ν .À présent, imaginons-nous que la paire de points x ν , y ν est soumiseà un mouvement continu qui est représenté par l’équation (1) ; elle estainsi envoyée sur une nouvelle paire de points, dont les points possèdentles coordonnées :⎧ (⎪⎨x ν = F ν x1 . . .x n , t )((3)y ν = F ν y1 . . .y n , t )⎪⎩(ν = 1 ···n)dans l’espace fixe. Puisque cette nouvelle paire de points doit satisfairela même équation que la paire de points x ν , y ν , il en découle que l’équation:(2’) Φ ( x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n , x 1 . . .x n , y 1 . . .y n)= 0est valide, quelle que soit la valeur de t. Si nous effectuons la substitution(3) dans cette équation, nous obtenons une équation entre x 1 . . .x n ,y 1 . . .y n et t qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs de t. Si nousnous souvenons ici que x 1 . . .x n , y 1 . . .y n sont liés par la relation (2) etconservation de la norme euclidienne |z | := ( z 2 1 + · · · + z2 n) 1/2à travers tous lesdéplacements.4 Plus bas, l’équation (7) ramènera encore plus précisément cette relation syncrétiqueà la forme symétrique et résolue Ω(x, y) = Ω(x 0 , y 0 ).