Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 271transférer à chaque espace à n > 3 dimensions. En d’autres termes,nous sommes sur le point de présumer que les énoncés suivants sontvalides :Théorème 42. Si un groupe réel continu de R n (n 3) possède lalibre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel de position générale,alors il est transitif à 1 n(n + 1) paramètres et il est semblable, via une2transformation ponctuelle réelle de R n , soit au groupe des mouvementseuclidiens, soit à l’un des deux groupes de mouvements non-euclidiens,donc dans le deuxième cas ou bien au groupe projectif réel continu dela variété :x 2 1 + x2 2 + · · · + x2 n + 1 = 0ou bien au groupe projectif réel continu de la variété :x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n − 1 = 0.Théorème 43. Si un groupe projectif réel continu de R n (n 3)possède la libre mobilité dans l’infnitésimal en tous les points réels decet espace sans exception, alors ce groupe est transitif à 1 n(n + 1)2paramètres et il est constitué de toutes les transformations projectivesréelles par l’action desquelles reste invariante une surface imaginairenon-dégénérée du second degré qui est représentée par une équationréelle.Proposition 3. Si un groupe projectif réel continu de R n (n 3)ne possède pas la libre mobilité dans l’infinitésimal en tous les pointsréels de cet espace, mais la possède seulement en les points d’une certainerégion, alors ce groupe est transitif à 1 n(n + 1) paramètres, et2pour préciser, il est semblable, via une transformation projective réelle,soit au groupe d’une variété réelle du second degré non réglée, soit augroupe des mouvements euclidiens de cet espace.Nous allons maintenant montrer que les choses se comportent effectivementainsi. À cette fin, nous avons évidemment seulement besoinde montrer qu’en admettant la validité de nos énoncés dans un espaceà n 3 dimensions, leur justesse en découle toujours dans l’espace àn + 1 dimensions ; car puisque nos énoncés sont déjà reconnus vraispour n = 3, leur justesse sera alors démontrée pour tout n 3.Nous posons donc à l’avance que les Théorème 42 et 43 ainsi quela Proposition 3 sont déjà démontrés pour l’espace à n 3 dimensions.Sous ces hypothèses nous cherchons d’abord tous les groupes