Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

270 Division V. Chapitre 22. § 99.Proposition 2. Si un groupe projectif réel continu de l’espace ordinairetrois fois étendu ne possède pas la libre mobilité dans l’infinitésimalen tous les points réels de cet espace, mais la possède seulementen les points réels d’une certaine région, alors ce groupe est transitif àsix paramètres, et pour préciser, il est semblable, via une transformationprojective réelle, soit au groupe projectif réel continu d’une surfaceréelle du second degré non réglée, soit au groupe des mouvements euclidiens.§ 99.Avant que nous passions à la généralisation des énoncés du précédentparagraphe à l’espace ayant nombre quelconque de dimensions,nous devons en quelques mots clarifier certaines manières de s’exprimer,dont nous ferons usage (cf.aussi la Remarque p. 338).Par chaque point d’un espace n fois étendu x 1 . . .x n passent ∞ n−1éléments linéaires : dx 1 : · · · : dx n qui forment une variété projective(n − 1)-fois étendue. Maintenant, dans l’espace ordinaire troisfois étendu, nous avons qualifié par le nom : « Élément de surface »chaque touffe unie [ebene Büschel] de ∞ 1 tels éléments linéaires, etdans R n , nous voulons plutôt dire pour cela : Élément d’une variétéà deux dimensions, ou plus brièvement : M 2 -élément. Pareillement,chaque botte unie [ebene Bündel] de ∞ 2 éléments linéaires devra êtredésignée comme Élément d’une variété à trois dimensions, ou plus brièvementcomme M 3 -élément, et ainsi de suite. Enfin, nous voulons nousréserver le droit d’employer aussi l’appellation : M 1 -élément pour leséléments linéaires.À présent nous pouvons définir ce que nous entendons par libremobilité dans l’infinitésimal dans R n .Définition. Un groupe réel continu de transformations ponctuellesde R n possède la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel Plorsque les conditions suivantes sont remplies : Si l’on fixe le pointP , puis un M 1 -élément réel quelconque passant par lui, puis un M 2 -élément réel quelconque passant par les deux, puis un M 3 -élément réelpassant par les trois, etc. , et tout de suite enfin un M q -élément réel quelconque,qui passe par tous les éléments antérieurs, alors un mouvementcontinu doit être possible aussi longtemps et seulement aussi longtempsque q < n − 1.Nous sommes tout près de présumer que les énoncés que nousavons trouvés dans le § 98 pour l’espace à trois dimensions se laissent