Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 297ont également une solution commune.On voit donc qu’à partir de l’existence d’un invariant de deuxpoints à distance finie on ne peut pas déduire avec certitude l’existenced’une longueur d’élément courbe, et par conséquent, qu’à deux pointsfiniment éloignés l’un de l’autre peut très bien être associée une fonctiondistance, sans que les courbes aient une longueur. Si en effet deuxpoints finiment éloignés l’un de l’autre ont un invariant, il découle duThéorème 44 que deux points infiniment voisins x ν et x ν + dx ν ont auminimum un invariant, mais cependant, l’invariant en question peut êtrehomogène d’ordre zéro par rapport à tous les dx ν , alors que les courbesn’ont toutefois une longueur que lorsqu’il existe un invariant ω(x, dx)qui est homogène du premier ordre en les dx ν .Le groupe du plan à trois paramètres :p, q, xp + yqfournit un exemple pour cela. Relativement à lui, deux points finimentéloignés l’un de l’autre ont un et un seul invariant, à savoir :y 2 − y 1x 2 − x 1,et pareillement, deux points infiniment voisins ont un et un seul invariant,à savoir :dydx .Ainsi, bien que deux points finiment éloignés l’un de l’autre possèdentune fonction distance, les courbes n’ont cependant pas de longueur relativementà ce groupe.Inversement, nous avons vu précédemment qu’à partir de l’existenced’un invariant ω(x, dx) qui est homogène du premier ordre en dx,on ne peut en aucune façon déduire l’existence d’une fonction distanceentre deux points finiment éloignés l’un de l’autre (voir p. 277 sq.).Nous pouvons maintenant exprimer aussi ce dernier fait de la manièresuivante : Même si les courbes ont une longueur, ce n’est pourtant paspour cette raison que deux points finiment éloignés l’un de l’autre ontune fonction distance, ou qu’ils possèdent une ligne de liaison la pluscourte.Les considérations précédentes sur les relations entre les invariantsde points finiment éloignés les uns des autres et les invariants de pointsinfiniment voisins peuvent encore être complétées d’une manière essentielle; on peut ainsi les généraliser aussi en introduisant trois points ou