Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

310 Division V. Chapitre 23. § 103.de chaque pseudosphère de centre P 1 qui est généralement située sonttransformés par un groupe isomorphe-holoédrique à six paramètres, quiest semblable, par une transformation ponctuelle réelle de R 3 , soit augroupe des mouvements euclidiens, soit à l’un des deux groupes demouvements non-euclidiens.Si nous fixons P 1 et P 2 , alors les points de K 1 sont encore transforméspar l’action d’un groupe à trois paramètres, et il en va de mêmepour les points de chaque autre pseudosphère de centre P 1 qui est généralementsituée. Les groupes réels à trois paramètres en question sontnaturellement isomorphes-holoédriques l’un avec l’autre. Mais si unsous-groupe réel à trois paramètres des mouvements euclidiens ou noneuclidiensde R 3 est isomorphe-holoédrique avec un sous-groupe à troisparamètres qui laisse invariant un point réel, alors il est manifestementlui-même le sous-groupe à trois paramètres qui laisse invariant un certainpoint réel (cf. p. 385 et Chap. 10). Par conséquent, lorsque P 1 et P 2sont fixés, sur chaque pseudosphère de centre P 1 qui est généralementsituée, un certain point réel doit en général rester au repos, et pour préciser,les points en question doivent visiblement constituer une courbequi passe par P 2 . La symétrie montre qu’après fixation de P 1 et de P 2 , ilpasse aussi en même temps par P 1 une courbe continue dont les pointsrestent entièrement au repos.Si donc nous fixons P 1 et P 2 , alors il passe par P 1 ainsi que par P 2une courbe continue dont les points restent au repos. On peut s’imaginerque ces deux courbes coïncident, mais il est aussi possible qu’elles diffèrentl’une de l’autre. Nous voulons laisser en suspens la question desavoir si le deuxième cas peut réellement se produire. Afin de pouvoirnous exprimer d’une manière commode, nous voulons appeler pseudodroitel’ensemble des deux courbes. Ainsi nous pouvons dire : Pourchaque paire de points P 1 et P 2 de R 4 , une pseudodroite est déterminéequi passe par P 1 et par P 2 ; si on fixe P 1 et P 2 , alors les points de cettepseudodroite restent entièrement au repos.Il est clair que chaque point de la pseudosphère K 1 détermine unepseudodroite passant par P 1 et que les pseudodroites ainsi déterminéespassent en général toutes par P 1 ; car si nous fixons en même temps queP 1 un point P en position générale qui ne se trouve pas sur K 1 , alorsun point P ′ sur K 1 reste aussi au repos et la pseudodroite déterminéepar P 1 et par P coïncide donc avec celle qui est déterminée par P 1 etpar P ′ . Par conséquent, exactement ∞ 3 pseudodroites passant par P 1sont en général déterminées, mais puisque chacune de ces pseudodroitesconsiste éventuellement en deux courbes, dont l’une seulement passe