Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 93concepts de la théorie des groupes de substitutions (Galois, Serret, Jordan)du discontinu vers le continu : loi de groupe, actions de groupe,sous-groupes, sous-groupes normaux, groupe quotient, classification àconjugaison près, groupe adjoint, représentation adjointe, formes normales,(in)transitivité, (im)primitivité, prolongement holoédrique, prolongementmériédrique, asystaticité, etc. Le principe de raison suffisantesuggère alors naturellement qu’au fondement même de la théoriegénérale, l’élimination des deux axiomes concernant l’élément identitéet l’existence d’inverses soit aussi possible dans l’univers des groupescontinus finis de transformations. Pendant plus de dix années, Lie a eneffet été convaincu qu’une assertion purement similaire à celle énoncéeci-dessus devait être vraie dans le domaine du continu, avec G = Diff nle pseudo-groupe (infini, continu) des difféomorphismes locaux de C n(ou de R n ) et en prenant pour H ⊂ Diff n une collection finiment paramétréed’équations de transformations x ′ = f(x; a) qui est stable parcomposition.Citons un extrait du premier mémoire systématique de Lie, paru en1880 aux Mathematische Annalen.Comme on le sait, on montre dans la théorie des substitutionsque les permutations d’un groupe de substitutions peuvent être ordonnéesen paires de permutations inverses l’une de l’autre. Mais comme ladifférence entre un groupe de substitutions et un groupe de transformationsréside seulement dans le fait que le premier contient un ensemblefini, et le second un ensemble infini d’opérations, il est naturel de conjecturerque les transformations d’un groupe de transformations puissentaussi être ordonnées par paires de transformations inverses l’une del’autre. Dans des travaux antérieurs, je suis parvenu à la conclusionque tel devrait être le cas. Mais comme au cours de mes investigationsen question, certaines hypothèses implicites se sont introduites au sujetdes fonctions qui apparaissent, je pense alors qu’il est nécessaired’ajouter expressément l’exigence que les transformations du groupepuissent être ordonnées par paires de transformations inverses l’unede l’autre. En tout cas, je conjecture que cette exigence est une conditionnécessaire de ma définition originale du concept [Begriff] de groupede transformations. Toutefois, il m’a été impossible de démontrer celaen général. [98], p. 444–445.Cependant, en 1884, dans sa toute première année de travail derédaction en collaboration, Engel proposa un contre-exemple à cetteconjecture de Lie. Considérons en effet la famille d’équations de transformations:x ′ = ζ x,