Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 103tous les points de l’espace :Xke ∣x= ∂f 1(x; e) ∂ + · · · + ∂f n ∂(x; e)∂a(3)k ∂x 1 ∂a k ∂x n=: −ξ k1 (x) ∂∂− · · · − ξ kn (x)(k =1··· r).∂x 1 ∂x nMaintenant enfin, après avoir reproduit à l’aveugle ces calculs aridesd’élimination différentielle dûs à Lie, nous pouvons dévoiler encoreplus précisément l’interprétation géométrique adéquate dont sont richesles équations différentielles (2”) doublement encadrées.K nX e ˛k˛fa(x)˛XekK n˛fa(x)Xak˛˛fa(x)X e k := ∂f∂a k˛˛exfa(x)Xke ˛˛xf a(·)xf a(x)X a k := ∂f∂a k˛˛a∂f∂a k˛˛a= P −ψ kj (a) ∂f∂a j˛˛eSignification géométrique des équations différentielles fondamentalesPlutôt que de différentier par rapport à a k au point spécial (x; e), nouspouvons, par souci de généralité, différentier en un point quelconque(x; a), ce qui nous donne alors les champs de vecteurs :Xka ∣ := ∂f 1fa(x)(x; a) ∂ + · · · + ∂f n ∂(x; a)(k =1··· r),∂a k ∂x 1 ∂a k ∂x net alors les équations différentielles fondamentales expriment que ces rnouvelles transformations infinitésimales :∣ = −ψ fa(x) k1(a) X1e ∣ − · · · − ψ ∣fa(x) kr(a) XreX a k∣fa(x)sont des combinaisons linéaires à coefficients qui ne dépendent quedes paramètres de groupe (a 1 , . . .,a r ), des r transformations infinitésimalesX1, e . . .,Xr e calculées au paramètre-identité e, et reconsidéréesau point f a (x) issu de x qui est « poussé » par la transformation f a (·).Le diagramme illustre géométriquement cette interprétation.Enfin, puisque la matrice ψ(a) possède un inverse ˜ψ(a) qui estanalytique dans un voisinage de e, les équations différentielles fondamentalespeuvent aussi être écrites sous la forme réciproque, parfoisutile :(4) ξ ji(x ′ (x; a) ) =r∑k=1˜ψ jk (a) · ∂x′ i∂a k(x; a).(i =1··· n ; j =1··· r).