Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 139Si nous posons maintenant :r∑˜ψ jk (a) ∂F = A j (F)∂a kk=1et si nous posons aussi :n∑ν=1ξ jν (x ′ ) ∂F∂x ′ ν= X ′ j (F),en accord avec les notations employées dans le § 3.6, alors les équations(4) reçoivent la forme brève :Ω j (F) = X ′ j (F) + A j(F) = 0(j =1··· r).Comme nous le savons, le fait que ces équations constituent un systèmecomplet revient à ce que des équations de dépendance de la forme :(Ω k Ωj (F) ) (− Ω j Ωk (F) ) r∑= ϑ kjs (x ′ 1, . . .,x ′ n, a 1 , . . .,a r ) · Ω s (F)s=1(k, j = 1 ···r)doivent être satisfaites identiquement, quelles que peuvent être les Fcomme fonctions de x ′ 1, . . .,x ′ n, a 1 , . . .,a r : ce sont en effet des identitésentre champs de vecteurs. Mais puisque ces identités peuvent aussiêtre écrites de manière développée comme :X k( ′ X′j (F) ) − X j( ′ X′k (F) ) (+ A k Aj (F) ) (− A j Ak (F) ) =r∑r∑= ϑ kjs X s ′ (F) + ϑ kjs A s (F),s=1nous pouvons immédiatement les diviser en deux collections d’identités:⎧X ⎪⎨ k( ′ X′j (F) ) − X j( ′ X′k (F) ) r∑= ϑ kjs X s ′ (F)s=1(5)(⎪⎩ A k Aj (F) ) (− A j Ak (F) ) r∑= ϑ kjs A s (F),et ici, la seconde série d’équations peut encorer être à nouveau décomposéeen :A k(˜ψjµ)− Aj(˜ψkµ)=r∑s=1s=1ϑ kjs ˜ψsµs=1(k, j, µ=1 ···r).