Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 117Toutefois, en posant t = 1, Engel et Lie établissent l’essentialité des rparamètres restants λ 1 , . . ., λ r par une démonstration sophistiquée et ingénieuseque nous restituons, en la modernisant et avec de plus amplesdétails, à la fin de ce paragraphe.Théorème 8. ([40], p. 65) Si r transformations infinitésimales :X k (f) =n∑i=1ξ ki (x 1 , . . ., x n ) ∂f∂x i(k = 1 ···r)sont mutuellement [linéairement] indépendantes et si, de plus,λ 1 , . . .,λ r sont des paramètres arbitraires, alors la totalité [Inbegriff]des groupes 29 à un paramètre λ 1 X 1 (f) + · · · + λ r X r (f) forme unefamille de transformations :x ′ i = x i +r∑λ k · ξ ki +k=1∑1...rk,jλ k λ j1 · 2 · X k(ξ ji ) + · · · (i = 1 ···n),dans lesquelles les r paramètres λ 1 , . . ., λ r sont tous essentiels, doncune famille de ∞ r transformations différentes 30 .Fait remarquable : toute question spéculative ou rhétorique qui apparaîtnaturellement est traitée par Engel et Lie au moment appropriédans le continu temporel et mémoriel du déploiement irréversible de lathéorie. S’il existe une systématique du questionnement, c’est dans lesmathématiques d’inspiration riemannienne qui se sont développées pendantla deuxième moitié du 19 ème siècle qu’il faut en trouver les racines,bien avant que l’axiomatique formelle du 20 ème siècle ne l’enfouissesous des strates de reconstitution a posteriori et non ouvertement problématisante.Maintenant, examinons la première question. Pour λ 1 , . . .,λ rfixés, la transformation infinitésimale combinaison linéaire X :=λ 1 X 1 + · · · + λ r X r a pour coefficients :ξ i (x) :=n∑λ j ξ ji (x)j=1(i =1... n).29 Le principe d’équivalence ontologique énoncé p. 110 s’exerce déjà implicitementici : tout groupe à un paramètre est identifié par Lie à son générateur infinitésimal.30 La notation « ∞ r » désigne le nombre de paramètres continus (d’où le symboled’infinité ∞) dont dépend un objet analytique ou géométrique.