Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 235définie à l’instant possède les propriétés suivantes : si un point en positiongénérale est fixé, alors tout autre point en position générale peutrecevoir encore ∞ n−1 positions différentes ; si on fixe deux points quisont mutuellement en position générale, alors tout autre troisième pointen position générale peut encore recevoir ∞ n−2 positions différentes,etc. ; pour être bref, nous trouvons que la finitude du groupe et queles hypothèses faites sur les invariants de deux points (ou plus) qui ontété indiquées à la page 231 se déduisent des exigences de Monsieur deHelmholtz, à savoir des exigences qu’après fixation d’un point, il existeune et une seule équation pour tout autre point, et ainsi de suite. Ainsi,nous n’avons plus besoin de mentionner spécialement ces exigences.Finalement, on peut encore mentionner que le groupe continu finig qui est déterminé par les mouvements continus de l’espace se trouveêtre lié encore d’une manière simple à un autre groupe. Nous entendonsle groupe g ′ de toutes les transformations ponctuelles pour lesquellesdeux points quelconques x ν , y ν ont l’invariant Ω(x, y).Il est à l’avance clair qu’il existe un tel groupe g ′ , car, quelle quesoit la manière dont nous pouvons choisir la fonction Ω(x, y), il y atoujours des transformations relativement auxquelles deux points ontl’invariant Ω(x, y), et aussi, l’ensemble de ces transformations constituetoujours un certain groupe, qui à vrai dire peut éventuellement se réduireà la transformation identique.Dans notre cas, il est maintenant facile de voir que la transformationla plus générale de g ′ contient exactement 1 n(n + 1) paramètres2arbitraires, ce qui découle tout simplement de la propriété particulièrequ’a l’invariant Ω(x, y), sous les hypothèses ici posées. Par conséquent,il est clair que g est le plus grand groupe continu contenu dans g ′ ; si g ′devait être lui-même continu, alors il coïnciderait naturellement avec g.§ 93.Formulation des axiomes helmholtziensen termes de théorie des groupes.Nous allons maintenant rassembler les résultats des précédents paragraphes.Afin de pouvoir nous exprimer d’une manière plus commode,nous voulons toutefois appeler brièvement le groupe défini à lapage 233 un groupe des mouvements de R n . En conformité avec cela,nous appelons brièvement chaque transformation de ce groupe un mouvement,de telle sorte que par « mouvement » nous entendons toujoursune transformation qui transforme l’espace mobile d’une situation vers