Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

290 Division V. Chapitre 22. § 100.a supposée, ces exigences se laissent aussi immédiatement appliquer àdes points infiniment voisins (cf.pp. 280 sq.).Les axiomes de Monsieur de Helmholtz se réfèrent, dans la versionqu’il leur a donnée au début de son travail, à des points finimentéloignés les uns des autres ; cependant, il les applique non seulementà de tels points, mais encore aussi à des points infiniment voisins, unprocédé dont nous avons suffisamment montré l’inadmissibilité dans leChapitre 21. La différence de nature entre les deux genres d’axiomes,i.e. entre ceux relatifs aux points finiment éloignés et ceux relatifs auxpoints infiniment voisins, apparaît, dans notre exposition, pour la premièrefois distinctement à l’expression. À vrai dire, Riemann fait desallusions qui peuvent conduire à présumer qu’il a eu des pensées similaires,mais ses expressions * sont fixées de manière si générale qu’on nene peut pas trancher quant à ce qu’il a voulu dire.Ce que nous avons appelé notre première solution du problème deRiemann-Helmholtz se réfère seulement à des points infiniment voisins,ce que l’on peut exprimer de manière plus précise comme suit : cette solutionrésout le problème de déterminer tous les groupes qui sont définispar certaines propriétés dans l’infinitésimal. À vrai dire, il faut aboutirà ce que l’exigence, d’après laquelle les mouvements doivent formerun groupe, se réfère à des points finiment éloignés les uns des autres,et une telle exigence ne se laisse en général pas éluder, puisqu’il s’agitnécessairement, lorsqu’on considère les mouvements, de changementsde lieu finis.Notre deuxième solution traite un problème qui se réfère seulementà des points finiment éloignés les uns des autres ; le concept depoints infiniments voisins intervient ici pour autant que nous demandonsque les points séparés restent aussi séparés, et donc que deuxpoints finiment éloignés les uns des autres restent finiment éloignés aucours de tous les mouvements, et ne sont jamais transformés en despoints inifiniment voisins ** .Si, pour le problème de Riemann-Helmholtz, on pose au fondementdes axiomes qui se réfèrent à des points finiment éloignés les unsdes autres, alors la solution est beaucoup plus difficile que lorsqu’onutilise des axiomes au sujet de points infiniment voisins. C’est sur cettedernière base que notre première solution (voir le Chapitre 22) a été*Voir ses Œuvres Complètes, 1 ère Édition, p. 267.**La solution du problème de Riemann-Helmholtz que nous avons donnée dansle Chapitre 21 sur la base des axiomes de Helmholtz partage le même caractère.