Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Remarques préliminaires 161il demande quelles propriétés doivent être attribuées à cette variété numériquepour qu’elle représente la géométrie euclidienne, ou bien uneautre géométrie semblable. La réponse à cette question est manifestementun problème purement analytique, qui peut être résolu en tant quetel.Cependant, la véritable signification de la proposition d’après laquellel’espace est une variété numérique ne ressort pas du travail deRiemann. Riemann cherche à démontrer cette proposition, mais sa démonstrationne peut pas être prise au sérieux. Si l’on veut véritablementdémontrer que l’espace est une variété numérique, on devra, à n’en pasdouter, postuler auparavant un nombre non négligeable d’axiomes, cedont il semble que Riemann n’ait pas été conscient. Il faut cependantprendre en considération le fait que par l’introduction des variétés numériques,il importait à Riemann de donner une version purement analytiquedu problème, et il faut faire observer que les hypothèses justifiantla possibilité d’introduire au commencement les variétés numériquesn’étaient pour lui qu’accessoires.Ajoutons à cela que son étude constituait une soutenance orale[Probevorlesung], et qu’elle n’était pas destinée à l’impression ; s’ilavait voulu lui-même la publier, il l’aurait sûrement écrite d’une toutautre manière.Du reste, l’introduction du concept de variété numérique dansles recherches sur les fondements de la Géométrie ne possède en rienun caractère arbitraire, mais s’inscrit objectivement dans l’essence deschoses. En effet, en ce qui concerne l’édification de la Géométrie, ilfaut distinguer plusieurs niveaux. L’un d’entre eux est indépendant aussibien de l’axiome des parallèles, que du concept intrinsèque de surface[Flächeninhalt] et de celui des nombres irrationnels. Mais il y a aussides niveaux plus élevés, entre autres, un niveau où l’on ne peut pas éluderle concept de nombre irrationnel et où on doit en tout cas introduireà titre d’axiome le fait que la droite soit une variété numérique. M. G.Cantor est le premier à avoir été confronté à la nécessité d’introduire unaxiome de cette sorte, si l’on souhaite pousser l’édification de la Géométriejusqu’à son achèvement.Riemann fonde la géométrie des variétés numériques sur leconcept de longueur d’un élément courbe [Bogenelement], dontdécoule par intégration le concept de longueur d’une ligne finie. Ildemande que le carré de la longueur d’un élément courbe soit unefonction complètement homogène du second degré par rapport auxdifférentielles des coordonnées ; en ajoutant, entre autres, l’exigence