Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 20.Détermination des groupes de R 3 relativement auxquelsles paires de points possèdent un, et un seul invariant,tandis que s > 2 points n’ont pas d’invariant essentiel.Les développements du présent chapitre se rattachent au §59 duTome I (p. 218 sq.). À ce moment-là, nous 1 avons introduit le conceptd’invariant de plusieurs points et maintenant, nous voulons déterminertous les groupes continus finis de R 3 qui satisfont certaines exigencesquant aux invariants d’un nombre quelconque fini de points. Notamment,deux points doivent avoir un et un seul invariant relativement àchaque tel groupe, tandis que tous les invariants de s > 2 points doiventtoujours pouvoir s’exprimer comme fonctions des invariants des pairesde points qui sont comprises dans ces s points. Si, en concordance avecle Tome I, p. 219, nous disons qu’un invariant de s points est essentiels’il ne peut pas être exprimé au moyen des invariants d’un sous-sytèmede s − 1 (voire moins) points, alors nous pouvons énoncer notre problème(qui se trouve déjà exprimé dans le titre du chapitre) de la manièresuivante :Déterminer tous les groupes continus finis de R 3 relativementauxquels deux points possèdent un et un seul invariant, tandis qu’unnombre de points supérieur à deux n’a jamais d’invariant essentiel.Nous allons d’abord résoudre ce problème sans tenir compte dela condition de réalité. Par conséquent, nous allons chercher en premierlieu tous les groupes de transformations complexes qui possèdentla propriété indiquée, et plus tard seulement, nous résoudrons aussi leproblème pour les groupes de transformations réels * .Nous nous sommes déjà expliqués p. 397 sq. sur les raisons quinous ont poussés à placer ce chapitre en position préliminaire, avant de1 Ambiguïté éventuelle, ici, sur le « nous », qui pourrait aussi bien renvoyer à unimpersonnel mathématique qu’au duo de rédacteurs formé par Engel et Lie.* En 1886, Lie a déjà esquissé dans le Leipziger Berichten, p. 337 sq., les résultatsqui alimentent le présent chapitre ; début 1890, il en a donné des démonstrationsdétaillées (ib., pp. 355–418). Ce qui suit est un remaniement de cette dernière étude.