Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

156 3.9. Le problème de la classification des groupeset surtout pour l’espace réel à trois dimension, le seul qui possède unsens « physique ». Du point de vue des équations de transformationsfinies, il est bien entendu naturel de déclarer que deux groupes de transformations:x ′ = f(x; a) et y ′ = g(y; b)qui agissent sur des espaces respectifs x 1 , . . .,x n et y 1 , . . .,y n de lamême dimension n 1 avec le même nombre r 1 de paramètresessentiels a 1 , . . .,a r et b 1 , . . .,b r sont équivalents 39 [ähnlich] s’il existeà la fois un changement de paramètres b = β(a) et un changement decoordonnées y = τ(x) dans l’espace-source qui s’effectue simultanémentaussi dans l’espace-image : y ′ = τ(x ′ ), de telle sorte que, aprèssubstitutions adéquates, on a la relation :x ′ = τ −1 (y ′ ) = τ −1( g(y; b) ) = τ −1( g(τ(x); β(a)) ) ≡ f(x; a),la dernière égalité étant identiquement satisfaite pour tout x et tout a.Mais grâce aux théorèmes fondamentaux, ce problème de classificationrevient en fait à classifier les algèbres de Lie locales finies dechamps de vecteurs et leurs sous-algèbres, à changement de coordonnéesprès :Classification des algèbres de Liede champs de vecteurs analytiques locauxen dimensions 1, 2 et 3 et au voisinage de points génériquesAu niveau infinitésimal, il est bien entendu naturel de déclarer que deuxalgèbres de Lie de champs de vecteurs analytiques locaux X 1 , . . .,X ret Y 1 , . . ., Y r de la même dimension r sur deux espaces de coordonnéesx 1 , . . .,x n et y 1 , . . .,y n de la même dimension n sont (localement)équivalentes s’il existe un difféomorphisme x ↦→ y = y(x) qui envoiechaque X k sur une combinaison linéaire λ k1 Y 1 + · · · + λ kr Y r des Y l àcoefficients constants λ kl .Ainsi, le problème de classification revient-il à trouver des formesnormales les plus simples possibles pour les algèbres de Lie de transformationsinfinitésimales. Plus précisément, il s’agit d’entreprendrel’étude suivante.39 L’adjectif « semblable » appartenant trop au langage non-conceptuel, [ähnlich]sera traduit par « équivalent », en référence à la méthode d’équivalence que Élie Cartana développée à la suite de Lie pour une pluralité de structures géométriques qu’il ainterprétées en termes de systèmes différentiels extérieurs ([24, 87, 156, 56, 125]).