Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

172 Division V. Chapitre 20. § 85.conditions, il en découle que le nombre de paramètres du groupe ne peuten tout cas pas être inférieur à six 20 .Si les deux équations (12) n’étaient pas indépendantes l’une del’autre relativement à x ′ 3, y 3, ′ z 3, ′ la seconde équation serait alors uneconséquence de la première, et il en découlerait évidemment que toutesles s − 1 équations (8) seraient aussi des conséquences de la premièred’entre elles, aussi grand que l’on choisisse s ; on ne pourrait donc paschoisir s assez grand pour que les équations (9) soient tirées des équations(8), ou, ce qui revient au même, il en découlerait, même si s étaitassez grand, que tous les invariants de s points ne pourraient pas se laisserexprimer au moyen des invariants des paires de points, en contradictionavec ce qui a été dit ci-dessus. Par conséquent, nous pouvonsconclure que les équations (12), relativement à x ′ 3, y 3, ′ z 3, ′ sont indépendantesl’une par rapport à l’autre et que le point x 3 , y 3 , z 3 peut seulementoccuper encore ∞ 1 positions après fixation de x 1 , y 1 , z 1 et de x 2 , y 2 , z 2 .En d’autres termes, les ∞ 1 pseudosphères de centre : x 2 , y 2 , z 2 doiventcouper les ∞ 1 pseudosphères de centre : x 1 , y 1 , z 1 en les ∞ 2 courbesqui sont déterminées par les deux équations :{ (J x1 , y 1 , z 1 ; x, y, z ) = const.(13)J ( x 2 , y 2 , z 2 ; x, y, z ) = const.,ou par le système simultané :{ α(x1 , y 1 , z 1 ; x, y, z) dx + β dy + γ dz = 0(14)α(x 2 , y 2 , z 2 ; x, y, z) dx + β dy + γ dz = 0.En particulier, on obtient que les ∞ 1 pseudosphères de centre : x 1 , y 1 , z 1ne peuvent pas être indépendantes de leur centre 21 , et donc qu’il y a auminimum ∞ 2 pseudosphères différentes 2220 Fixer un point de coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) absorbe au moins trois paramètresdu groupe, puisqu’il est supposé transitif. Le second point (x 2 , y 2 , z 2 ) se meut alors,par l’action du sous-groupe d’isotropie fixant le premier point, sur une pseudosphèrede centre (x 1 , y 1 , z 1 ), avec deux degrés de liberté, et de manière localement transitive.Fixer ensuite ce deuxième point absorbe au moins deux paramètres supplémentairesdu groupe. Enfin, une mobilité comportant au moins un dernier paramètre estencore possible sur l’intersection (généralement non vide) des deux familles de pseudosphèrescentrées en (x 1 , y 1 , z 1 ) et en (x 2 , y 2 , z 2 ).21 — sinon l’intersection des deux familles de surfaces (14) ne se réduirait pas àdes courbes —22 Le pseudorayon, à savoir la constante dans l’équation J(p 1 ; p) = const., constitueun premier paramètre (évident) pour la famille des pseudosphères. Les équationsdes pseudosphères ne pouvant pas être indépendantes de leur centre p 1 , elles