Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Préface au livre de Joël Merkerxirelations, certaines entre des domaines qui ne paraissaient pas interconnectés,le champ thématique peut s’en trouver structuralement modifié.Une synthèse nouvelle apparaît qui réveille des relations anciennes entredes potentiels d’idéalités ; alors cette exploration que la situation induitpeut faire penser l’historien qui se met au travail à la constatation qu’ila affaire à une découverte. Mais elle n’est là que parce que le mathématiciena inventé cette insertion inattendue devenue alors nécessaire.Riemann, Lebesgue et Archimède sont soudain devenus voisins, toutcomme Gromov et Eudoxe.Aux philosophes, encore. Riemann pratique la philosophie : Joël Merkerreprend minutieusement l’analyse riemannienne de Herbart, et lastratégie philosophique que Riemann en tire, stratégie et pour la philosophieet pour les mathématiques. Le lecteur découvrira ici la constructionconceptuelle de Riemann qui se déploie comme un écho anticipateurde ses mathématiques. La réflexion philosophique est chezRiemann autonome, elle se produit pour elle-même, mais c’est alorsqu’elle parle aux mathématiques et parle des mathématiques. Il fautque nos philosophes cessent d’avoir peur des métaphores contrôlées.Ce sont elles qui font avancer la philosophie entièrement imprégnée demathématiques. Le fait qu’il en soit ainsi doit faire comprendre et auphilosophe et au mathématicien la situation topologique des deux disciplines.Dussé-je me répéter, c’est cette situation qui permet précisémentà la création mathématique de se développer de manière autonome, etd’autre part, à la méditation philosophique de se retrouver pour progresser.Quand Herbart souligne le besoin professionnel éprouvé par le mathématiciende dévoiler l’esprit de ses formules, il veut indiquer le caractèreessentiellement réflexif de ses formules et de sa pratique mathématique.La philosophie absorbe le mouvement de la mathématique etses sinuosités, c’est par exemple le cas pour le différentiel.Joël Merker insiste beaucoup sur ce qu’il appelle la stratégie del’ouverture riemannienne. C’est dans cette position-là que l’on doitcomprendre les mathématiques du 19 ème siècle et leur identification partielleavec la philosophie.L’ouverture constante de l’irréversible synthétique : j’insiste surcette expression d’abord du synthétique, c’est-à-dire une concentrationunifiée de propriétés mathématiques, par opposition à l’analytique ; laphilosophie des mathématiques se déploie dans les domaines que lesconstructions mathématiques réalisent pour les réexprimer, les prolonger,reproduire un système de bifurcations. Cette terminologie si proche