Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

126 3.7. Le théorème de Clebsch-Frobeniusde coordonnées (x 1 , . . .,x n ), la solution générale de Xf = 0 s’écritcomme annoncé : f = F(ω 1 , . . .,ω n−1 ).□Question : Qu’advient-il en présence de plusieurs équations auxdérivées partielles ? La manière dont Engel et Lie présentent la résolutionde cette question dans le Chapitre 5 de [40] est symptomatique surle plan du contrôle par la pensée des principes de genèse, et nous nousproposons à présent d’en restituer la teneur.Premier principe : examiner la dyade comme germe du Multiplepur. Par exemple, si une fonction f(x 1 , . . .,x n ) satisfait deux équationsaux dérivées partielles du premier ordre :X 1 (f) = 0, X 2 (f) = 0,alors elle satisfait naturellement aussi les deux équations différentiellesdu second ordre :X 1(X2 (f) ) = 0, X 2(X1 (f) ) = 0,et par conséquent, aussi l’équation :X 1(X2 (f) ) − X 2(X1 (f) ) = 0,qui est obtenue en soustrayant ces deux équations. Or si l’on introduitles expressions développées de ces deux opérateurs d’ordre 1 :X k =n∑i=1ξ ki (x 1 , . . ., x n ) ∂∂x i(k = 1,2),alors cette dernière équation ne dérive la fonction f qu’à l’ordre 1 :X 1(X2 (f) ) − X 2(X1 (f) ) =n∑i=1[X1 (ξ 2i ) − X 2 (ξ 1i ) ] ∂f∂x i,puisque tous les termes qui incorporent des dérivées partielles du secondordre s’annihilent dans la soustraction. Grâce à ce procédé, onobtient alors un nouvel opérateur qui a la même structure que les deuxopérateurs initiaux : homologie de l’ontologie. On notera alors :[X1 , X 2]= −[X2 , X 1]