Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 43les formules qu’on attribue aujourd’hui à Frenet 81 ; Peterson a soutenuen 1853 une thèse sur les équations aujourd’hui attribuées à Mainardi-Codazzi ; et surtout Minding, figure la plus influente, a travaillé sur ledéveloppement des lignes courbes à l’intérieur de surfaces courbes, a introduitle concept de courbure géodésique, et a étudié les surfaces dontla courbure gaussienne est constante.Pour ce qui nous intéresse, Minding a su exprimer la métriquegaussienne d’une surface de courbure constante κ > 0 sous la forme 82normalisée suivante :ds 2 = dp 2 + ( 1 √κ sin p √ κ )2 dq 2ou lorsque −κ < 0 sous la forme :ds 2 = dp 2 + ( 1 √κ sinh p √ κ ) 2dq2Le cas de la courbure nulle s’obtient en prenant la limite, lorsque κtend vers zéro, de chacune de ces deux formules 83 , et l’on retrouve ainsil’expression de la métrique pythagoricienne en coordonnées polaires(rayon p, angle q) : ds 2 = dp 2 + p 2 dq 2 .Une autre expression normalisée des métriques gaussiennes decourbure constante était très vraisemblablement connue de Riemann,81 Pour une excellente présentation de la théorie des courbes et des surfaces dansl’espace à trois dimensions, nous renvoyons aux leçons de Do Carmo [37]. Les aspectsphilosophiques fins de l’émergence de la théorie des surfaces de Gauss ne pourrontpas être abordés ici, et nous bornerons notre analyse à l’examen résumé de la façondont Riemann semble être parvenu au concept de courbure, en nous basant sur Weyl([170, 171]) et sur Spivak ([154]).82 Lorsque le ds 2 est représentée en coordonnées polaires géodésiques sous laforme normalisée ds 2 = dp 2 + G(p, q)dq 2 , sa courbure de Gauss s’exprime alors parla formule relativement simple : κ = κ(p) = − √ 1 ∂ 2√ GG ∂p. Sachant que le signe de la2dérivée seconde change suivant qu’on a affaire au sinus (tout court) : ∂2∂p(sin p √ κ) =2− √ κ 2 sin p √ ∂κ, ou au sinus hyperbolique : 2∂p(sinh p √ κ) = √ κ 2 sinhp √ κ, on2retrouve effectivement κ dans le premier cas, et −κ dans le second cas.83 Rappelons que sint = t − 1 6 t3 + · · · et que sinht = t + 1 6 t3 + · · · , d’où1lim κ→0 √κ sin p √ 1κ = p et aussi lim κ→0 √κ sinhp √ κ = p.